Exprimer une probabilité marginale à l'aide de copules

Question

Veuillez me corriger si je me trompe et veuillez me fournir les notations correctes. J'ai deux questions:

On sait que pour les variables $(X,Y,Z)\in \mathbb{R}^3$, la densité du joint marginal $f(x,y)$ peut être exprimé comme

\ begin {équation} f (x, y) = \ int_ {z} f (x, y, z) dz \ end {équation}

De plus, nous savons du théorème de Sklar que

\ begin {équation} f (x, y, z) = f (x) f (y) f (z) c (F (x), F (y), F (z)) \ end {équation}

Q1: alors serait-il correct d'exprimer $f(x,y)$ comme suit

\ begin {équation} f (x, y) = \ int_ {z} f (x) f (y) f (z) c (F (x), F (y), F (z)) dz \ end { équation} et depuis$f(z)=dF(z)/dz$ (en supposant $F(z)$ est différenciable)

\ begin {équation} f (x, y) = \ int_ {z} f (x) f (y) c (F (x), F (y), F (z)) dF (z) \ end {équation }

Q2: Si oui, comment peut-on continuer à calculer l'intégrale ci-dessus.

Merci d'avance.

Answer 1

La question de la notation semble cruciale. Je propose donc de lever l'ambiguïté de l'omniprésence et de la surcharge "$f$"au moyen d'indices. Ainsi, $f_{XYZ}$ sera la fonction de densité complète et (par conséquent) la densité marginale pour $(X,Y)$ est

$$f_{XY}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{XYZ}(x,y,z)\,\mathrm{d}z.$$

Si, pour une version suffisamment fluide de $f_{XYZ}$ et des nombres réels $(x,y,z)$ vous définissez une fonction $c$ sur $[0,1]^3$ comme

$$c\left(F_X(x),F_Y(y),F_Z(z)\right) = \left\{\begin{aligned}\frac{f_{XYZ}(x,y,z)}{f_X(x)f_Y(y)f_Z(z)} & & \text{if } f_X(x)f_Y(y)f_Z(z)\ne 0 \\ 0 && \text{otherwise,}\end{aligned}\right.$$

alors en effet vous pouvez substituer ceci dans la première expression pour $f_{XY}$ obtenir

$$f_{XY}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(y)f_Z(z) c(F_X(x),F_Y(y),F_Z(z))\,\mathrm{d}z$$

et parce que $\mathrm{d}F_Z(z) = f_Z(z)\,\mathrm{d}z$ par définition, substituer cela à ce qui précède donne

$$f_{XY}(x,y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_X(x)f_Y(y)c(F_X(x),F_Y(y),F_Z(z))\,\mathrm{d}F_Z(z).$$

En ce qui concerne le calcul de telles intégrales, cela se résume aux informations dont vous disposez et sous quelle forme; c'est une question sans réponse dans une telle généralité.

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Notez que ceci $c$n'est pas la copule pour$f_{XYZ}.$ La copule $C$ est donné par

$$\begin{aligned} C(F_X(x),F_Y(y),F_Z(z)) &= \Pr(X\le x,\,Y\le y,\,Z \le z) \\ &= F_{XYZ}(x,y,z) \\ &= \int^x\int^y\int^z f_{XYZ}(x,y,z)\,\mathrm{d}z\mathrm{d}y\mathrm{d}x. \end{aligned}$$

En utilisant une notation standard dans la littérature sur les copules,

$$DC(u,v,w) = \frac{\partial^3C(u,v,w)}{\partial u\partial v \partial w}$$

pour $(u,v,w)\in[0,1]^3.$En appliquant la règle de la chaîne (trois fois), nous pouvons relier cela à ce qui précède via

$$\begin{aligned} f_{XYZ}(x,y,z) &= \frac{\partial^3C(F_X(x),F_Y(y),F_Z(z))}{\partial x\partial y \partial z} \\ &= DC(F_X(x),F_Y(y),F_Z(z))f_X(x)f_Y(y)f_X(z), \end{aligned}$$

révélateur $c$ comme

$$c(u,v,w) = (DC)(u,v,w).$$

Un exemple simple pour contraster $c$ et $C$ est le cas de l'indépendance des variables $(X,Y,Z),$ Pour qui $C(u,v,w)=uvw$ (la "copule d'indépendance") et $c(u,v,w)=DC(u,v,w)=1.$

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Enfin, pour répondre à la question du titre, une expression simple de la probabilité marginale en termes de copule est

$$F_{XY}(x,y) = \Pr(X\le x,\,Y\le y) = \lim_{z\to\infty}\Pr(X\le x,Y\le y,Z\le z) = C(F(x),F(y),1).$$

Faites la différence par rapport à $(x,y)$ pour obtenir la densité marginale $f_{XY}.$