$f$ est continu si $G(f)$ est un ensemble fermé en espaces métriques [dupliquer]

Dec 31 2020

Le graphique de $f$ est $G(f) = \{(x,f(x)) : x\in X\} \subseteq X\times Y$

$X$ et $Y$ sont des espaces métriques. $Y$ est compact.

$f$ est continu si $G(f)$ est un ensemble fermé.

J'ai eu la réponse la plus proche ici, mais je l'ai d'abord essayé par moi-même et je suis resté coincé à un moment donné et j'ai besoin d'aide sur cette situation particulière que je n'ai trouvée nulle part ailleurs /

$\Rightarrow$ partie: Let $(z_n)=(x_n,f(x_n))\in G_f$ être une séquence convergente de $G(f)$. Si$(x,y)$est sa limite. Nous devons montrer que$y=f(x)$ en d'autres termes $(x,y)\in G_f$.

$x_n \to x$ $\Rightarrow$ $f(x_n)\to f(x)$[Par continuité de $f$.] $\Rightarrow f(x)=y$par l'unicité de la limite. Par conséquent$G_f$ est fermé.

$\Leftarrow$ partie: Let $x\in X$ et $(x_n)$ une séquence convergente avec limite $x$. Tu dois prouver que$(f(x_n))$ est convergent en $Y$ avec limite $f(x)$. J'ai utilisé la séquence$z_n=(x_n,f(x_n))$ et $G_f$ est fermé dans l'espace compact $Y$ et donc $G_f$est compact. Ensuite, il y a une sous-séquence$(x_{n_k},f(x_{n_k})) \to (x,y)\in G_f$. Ensuite, nous aurons$y=f(x)$ mais comment prouver que $f(x_n) \to f(x)$? Il est vrai que chaque sous-séquence de$f(x_n)$ a une sous-séquence convergeant vers $f(x)$.

Réponses

1 Ri-Li Dec 31 2020 at 22:15

Du commentaire j'ai eu ma réponse qui vient de ce lemme:

Lemme Let$Y$ être un espace métrique compact et $(y_n)$ une séquence dont les termes appartiennent à $Y$. Si chaque sous-séquence convergente de$(y_n)$converge vers la même limite$\ell\in Y$, puis $(y_n)$ converge vers $\ell$.

Preuve Supposons le contraire. Alors, il existe$\epsilon>0$, tel que :

$$\forall N\in\mathbb{N},\,\exists n\ge N;\,d(y_n,\ell)>\epsilon$$

Cela nous permet de construire une sous-séquence $(y_{n_k})$ tel que :

$$\forall k\in\mathbb{N},d(y_{n_k},\ell)>\epsilon$$

Extrayez maintenant de $(y_{n_k})$ une sous-séquence convergente: sa limite $\ell$ de l'hypothèse et donc nous obtenons $0=d(\ell,\ell)\ge\epsilon$ ...

Une contradiction!

Maintenant, quelqu'un peut fermer cette réponse, mais je peux la garder dans mon dossier et si quelqu'un procédera de cette manière. Ils en recevront de l'aide. J'ai posé la question parce que je vérifiais l'un des moyens évidents qui peuvent nous venir à l'esprit. Merci beaucoup!