Fonctions d'indicateur avec probabilités conditionnelles

Question

Cela ressemble à une question idiote. Je lis quelque part ça

$$ \mathbb{P} (Y = 1,h(x)=-1\mid X=x) = \mathbb{P}(Y=1\mid X=x) \mathbb{ I }_{\{h(x) = -1\}} $$

où $\mathbb{ I }$est la fonction d'indicateur (pas sûr de la meilleure façon de LaTeX ceci). Ici$h$est un classificateur déterministe. Je me demande pourquoi nous pouvons simplement «faire» cela, je n'ai pas l'impression que cela correspond à mon sens commun de la manipulation des équations de probabilité. c'est à dire. Pouvons-nous traiter les événements$Y=1$ et $h(x) = -1$ conditionnellement indépendant donné $X=x$?

Answer 1

Cela vient du fait que si $X$ est $\mathcal G-$mesurable, alors $$\mathbb E[XY\mid \mathcal G]=X\mathbb E[Y\mid \mathcal G].$$

Puisque tu as ça $\boldsymbol 1_{\{h(X)=-1\}}$ est $\sigma (X)-$mesurable, tu as ça \begin{align*} \mathbb P\{Y=1, h(X)=-1\mid X\}&:=\mathbb E[\boldsymbol 1_{\{Y=1\}}\boldsymbol 1_{\{h(X)=-1\}}\mid X]\\&=\boldsymbol 1_{\{h(X)=-1\}}\mathbb E[\boldsymbol 1_{\{Y=1\}}\mid X]\\ &=\boldsymbol 1_{\{h(X)=-1\}}\mathbb P\{Y=1\mid X\}. \end{align*}