Identité binomiale impliquant des valeurs négatives

Question

Je veux vérifier cette identité qui apparaît dans le premier livre de Feller sur la probabilité:

$${2n\choose n}=(-1)^n4^n{-1/2\choose n}$$

Alors j'applique cette définition

$${x\choose r}=\frac{x(x-1)(x-2)\ldots(x-r+1)}{r!}$$

obtention

$$\frac{1/2(1/2-1)(1/2-2)\ldots(1/2-n+1)}{n!}=\frac{(-1)(-1)^{n-1}(1/2)(1/2+1)(1/2+2)\ldots(1/2+n-1)}{n!}\\=\frac{(-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)^n(1+2)(1+4)(1+6)\ldots(1+2n-2)}{n!}$$

Mais je ne vois pas comment avancer à partir d'ici. J'ai aussi essayé d'ajouter les termes (1/2 + s) puis d'extraire le 2 dans le dénominateur mais le numérateur est une factorielle de termes impairs et je suis à nouveau coincé. Merci.

Answer 1

Vous êtes allé aussi loin que $${-1/2\choose n}=\frac{(-1)^n\left(\frac{1}{2}\right)^n(1+0)(1+2)(1+4)(1+6)\ldots(1+2n-2)}{n!}$$ bien que vous ayez encore besoin de multiplier par $(-1)^n 4^n$. En écrivant ceci comme$$(-1)^n4^n{-1/2\choose n}=4^n\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^n \times 1 \times 3 \times 5 \times 7 \ldots\times (2n-1)}{ n!} \\ = 2^n \frac{ 1 \times 3 \times 5 \times 7 \ldots(2n-1)}{ n!} \times \frac{n!}{n!} \\ = \frac{ 1 \times 3 \times 5 \times 7 \ldots(2n-1)}{ n! } \times \frac{2 \times 4 \times 6 \times \cdots \times 2n }{n!} \\ = \frac{(2n)!}{n!\,n!} \\= {2n \choose n}$$

Answer 2

vous aurez un produit de valeurs impaires, multipliez maintenant le numérateur et le discriminateur par le produit de valeurs paires, et réécrivez en utilisant l'expression

$$ (2n)!!=2^n n! $$