Interprétation des notes de variation

Question

Je voudrais une explication sur la façon dont cette dérivée partielle lagragienne a été prise (éq. 3). Ceci est probablement plus adapté à l'échange de piles de mathématiques, mais c'est pour un cours de physique, c'est pourquoi je poste ici. Basé sur la définition d'une expansion de Taylor:

Je ne comprends pas comment ou pourquoi ce n'est que le partiel $q_i$ et pas toutes les autres variables pour le deuxième terme, avec pourquoi c'est seulement Wrt $\dot{q}_i$au troisième mandat. De plus, il semble qu'il n'y ait pas de constantes qui se multiplient contre chaque fonction ni quel que soit le$(x-a)$terme pourrait être. La dérivée complète est définie dans l'équation. 5 mais cela ne correspond pas à ce que les dérivés complets dans eq. 3 devrait être:

Une ventilation complète des mathématiques serait appréciée, ou du moins une explication générale, basée sur une formule.

Answer 1

Votre définition de la série de Taylor dans une variable aux dérivés du premier ordre est

$$ f(x) = f(a) + \frac{\partial f}{\partial x}(a)(x-a) $$

Notez que nous négligeons les termes d'ordre supérieur. Dans deux variables, cela ressemblerait à

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)(x_1-a_1)+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)(x_2-a_2) $$

Changeons la notation pour que $\delta x = (x-a)$, qui représente un décalage infinitésimal des paramètres. La série Taylor ci-dessus est

$$ f(x_1,x_2) = f(a_1,a_2) + \frac{\partial f}{\partial x_1}(a_1,a_2)\delta x_1+ \frac{\partial f}{\partial x_2}(a_1,a_2)\delta x_2 $$

Maintenant, que se passe-t-il si nous avons beaucoup de variables? Nous pouvons modifier l'expression ci-dessus pour

$$ f(\vec x) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f(\vec a)}{\partial x_i}\delta x_i $$

Maintenant, que se passe-t-il si la moitié des variables sont naturellement regroupées (toutes les positions et toutes les vitesses aussi), pourquoi n'écrivons-nous pas cela pour chaque dimension $i$, en retirant spécifiquement les deux types de variables!

$$ f(x_1, \dots,x_n,y_1,\dots ,y_n) = f(\vec a) + \sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(\vec a)\delta x_i+ \sum_i\frac{\partial f}{\partial y_i}(\vec a)\delta y_i $$

mais, étant donné la notation de sommation d'Einstein, nous savons que la sommation est implicite afin que nous puissions supprimer les signes de sommation si nous le voulions.

L'action est définie par

$$ S = \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

où $q_i$ et $v_i$sont la position et la vitesse dans chaque dimension. Une variation de l'action est la série de Taylor de premier ordre dans les positions et les vitesses moins l'action non-pétrifiée.

$$ \delta S = \int dt\bigg\{L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t) + \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} - \int L(q_1,\dots ,q_n,v_1,\dots ,v_n,t)dt $$

Ce qui simplifie à

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial v_i}\delta v_i\bigg\} $$

Quel est votre résultat final. Pour arriver aux équations d'Euler-Lagrange, on peut alors définir$v_i=\dot q_i$ (c'est à dire seulement lorsque la vitesse est la dérivée temporelle de la position est la solution d'un chemin extrême de l'action, mais ce ne sont que des détails).

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}\delta q_i+ \sum_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\delta \dot q_i\bigg\} $$Afin de procéder avec cette expression, il est utile de collecter les variations dans chaque dimension afin que nous puissions les extraire de l'équation ensemble. Ceci peut être réalisé puisque$\dot q_i = d_tq_i$ et donc le terme final peut être intégré par parties pour donner

$$ \delta S = \int dt\bigg\{ \sum_i\frac{\partial L}{\partial q_i}-\sum_i\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg\}\delta q_i + \delta q_i\frac{\partial L}{\partial \dot q_i}\bigg|^2_1 $$

Le terme final est un terme limite et cela disparaît en raison de l'imposition que la variation disparaît à ce stade, c'est-à-dire $\delta q=0$. Vous aboutissez à l'équation d'Euler-Lagrange après avoir imposé uniquement des solutions extrémales$\delta S=0$.