La commutativité de $I$ et $Y$ dans un code stabilisateur

Question

Laisser $P_1 = \lbrace I, -I, iI, -iI, X, -X, iX, -iX, Y, -Y, iY, -iY, Z, -Z, iZ, -iZ\rbrace$. Laisser$P_n$ Soit le $n$-tensor pli de $P_1$. On dit que deux opérateurs font la navette si$AB = BA$ ou anti-navettage si $AB = -BA$ pour tous $A,B \in P_n$.

Laissez-nous $n=1$ et $A=I$ et $B=Y$, ensuite nous avons:

\begin{align*} IY &\stackrel{\text{true}}{=} YI,\\ IY &\stackrel{\text{true}}{=} -YI. \end{align*}

Autrement dit, $I$ et $Y$à la fois pour les trajets domicile-travail et anti-navettage. J'ai également ajouté un extrait de code matlab pour être complet.

I = [1 0; 0 1];
Y = [0 -i;i  0];
if isequal(I*Y,Y*I)
   disp('commute') 
end
if isequal(I*Y,-Y*I)
   disp('ANTI-commute') 
end

Je fais référence à la thèse de doctorat de Daniel Gottesman .

Qu'est-ce que je rate?

Edit: Mon code Matlab ne doit exécuter qu'une seule des instructions if (pas les deux). Il semble que ma machine mettait en cache les réponses précédentes. Un redémarrage du programme a résolu le problème.

Answer 1

Ça devrait être $IY \ne - YI$ à la place de $IY = - YI$. $$IY \ne - YI \\ \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\ 0& 1 \end{pmatrix} \\ Y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} \ne -\begin{pmatrix} 0&-i\\ i& 0 \end{pmatrix} = -Y $$

Donc $I$ et $Y$ne faites pas d'anti-navettage. en outre$I$ anti-commute uniquement avec la matrice avec tous $0$entrées. Aussi,$I$ fait la navette avec toutes les matrices, car à partir de la définition $IM = M = MI$, où $M$ est une matrice aléatoire.

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Au contraire, toutes les paires de $\{X, Y, Z \}$anti-commute les uns avec les autres. Par exemple:

$$\{X Z \} = XZ + ZX = 0$$

car $XZ = -ZX$. De plus, nous avons ces relations:$XY = -YX$ et $YZ = -ZY$ à partir de laquelle nous pouvons conclure $\{XY\} = \{ZY\} = 0$.