La différence formelle entre $\cup$ et $\vee$

Question

J'ai du mal à comprendre la différence entre la signification de l'ensemble-union ($\cup$) et l'opérateur de disjonction logique ($ \ vee).

À savoir ce que je ne suis pas sûr, ce sont les différences entre les règles de calcul pour ces différents opérateurs et si elles peuvent ou non être interchangées dans certaines situations ???

Si on donne une règle, comme:

M∩ (N∪L) = (M∩N) ∪ (M∩L) Est-ce équivalent à ceci? M∧ (NvL) = (M∧N) v (M∧L)

Je pose cette question parce que, par exemple sur Wikipédia, les lois de De Morgan sont écrites comme si ces symboles pouvaient être interchangés:

• voir: https://en.wikipedia.org/wiki/De_Morgan's_laws

Toute aide est appréciée. Je vous remercie

Answer 1

La différence est que $\cap$ et $\cup$ et $\overline{\phantom{M}}$ fonctionnent sur des ensembles, alors que $\land$, $\lor$ et $\neg$ opérer sur des formules.

$\{a, b\} \cap (\{b\} \cup \{b, c\}) = (\{a, b\} \cap \{b\}) \cup (\{a, b\} \cap \{b, c\}$ logique.
$(p \to q) \land (\neg q \lor r) = ((p \to q) \land \neg q) \lor ((p \to q) \land r)$ logique.
$\{a, b\} \land (\{b\} \lor \{b, c\}) = (\{a, b\} \land \{b\}) \lor (\{a, b\} \land \{b, c\}$ n'a pas de sens.
$(p \to q) \cap (\neg q \cup r) = ((p \to q) \cap \neg q) \cup ((p \to q) \cap r)$ n'a pas de sens.

Cela étant dit, la similitude entre les deux - la similitude visuelle des symboles et le fait que les mêmes schémas de règles s'appliquent à eux - n'est pas fortuite: elle vient du fait que les deux sont définis par la même méta opérateurs théoriques:

$M \cap N = \{x: x \in M \text{ and } x \in N\}$
$M \cup N = \{x: x \in M \text{ or } x \in N\}$
$\overline{M} = \{x: \text{not } x \in M \}$

$\mathfrak{A} \models P \land Q \Longleftrightarrow \mathfrak{A} \models P \text{ and } \mathfrak{A} \models Q$
$\mathfrak{A} \models P \lor Q \Longleftrightarrow \mathfrak{A} \models P \text{ or } \mathfrak{A} \models Q$
$\mathfrak{A} \models \neg P \Longleftrightarrow \text{not } \mathfrak{A} \models P$

Les deux définitions imitent de la même manière le comportement du langage naturel "et", "ou" et "pas" dont elles sont issues, mais elles opèrent sur différents types d'objets mathématiques - l'un sur des ensembles, l'autre sur des formules - et ne sont donc pas interchangeables.