La preuve de chaque PID est Noetherian
J'ai vu la preuve de cette proposition ici , mais j'ai une question à ce sujet.
La définition de l'anneau noéthérien est que l'anneau est commutatif et que chaque idéal de R est fini, n'est-ce pas? L'anneau principal est chaque idéal de cet anneau généré par un seul élément, il est donc clair. Mais je suis curieux de savoir n'est-ce pas non seulement le PID, mais aussi l'anneau principal est noetherian?
Je vous remercie!
Réponses
Vous avez raison, cela n'a rien à voir avec le fait d'être un domaine.
Dans un anneau idéal principal, tous les idéaux sont générés de manière finie car a fortiori ils sont générés individuellement . Autrement dit, un groupe électrogène à un élément est un groupe électrogène fini!
Le fait est que dans certains contextes, les auteurs s'en tiennent simplement aux domaines. Il n'y a donc pas de grand mystère à inclure la condition du domaine, c'est juste une question de contexte.