Matrices binaires et similitude

Question

Considérez l'espace des matrices carrées $\mathcal{B}$ qui prennent les entrées de $\{0,1\}$. Je voudrais trouver des matrices orthogonales$Q$ tel que, pour une matrice $B \in \mathcal{B}$, la matrice $Q^TBQ \in \mathcal{B}$. Autrement dit, la matrice$Q^TBQ$est également une matrice binaire. Les candidats évidents pour$Q$ sont des matrices de permutation.

Existe-t-il d'autres matrices orthogonales? Aussi, je pense à d'autres cas où la matrice peut prendre des entrées$\{-1,0,1\}$. Comment trouver des paires$(Q_1,Q_2)$ tel que $Q_1^TBQ_2 \in \mathcal{B}$. Pourriez-vous me suggérer des ressources qui pourraient m'aider à me faire une idée de la façon de procéder?

Answer 1

Cas 1 (où $\mathcal{B}$ se compose de matrices 0/1) sera préservé par les matrices de permutation uniquement (c'est-à-dire qu'il s'agit du groupe de matrices orthogonales stabilisant l'ensemble $\mathcal{B}$). Pour montrer cela, supposons$Q$est une matrice orthogonale mais pas une matrice de permutation. En choisissant une matrice appropriée dans$\mathcal{B}$, vous pouvez facilement vérifier que

1. Toutes les entrées de $Q$ sont 0/1.
2. Aucune ligne ou colonne de $Q$ a plus d'une entrée différente de zéro.

Pour une matrice particulière $B$, ces matrices enverront $B$ vers une autre matrice dans $\mathcal{B}$, bien sûr, et éventuellement d'autres matrices orthogonales le seront également (du moins si $B= 0$ ou si $B=J$, la matrice tout-un, toute matrice orthogonale enverra $B \mapsto B$); vous devrez le déterminer de manière ad hoc (bien qu'il puisse valoir la peine d'essayer de montrer que les matrices de permutation sont les seules qui fonctionnent avec des hypothèses appropriées sur$B$; peut-être en supposant$B$a le rang de ligne complet). La collection de toutes ces matrices ne formera pas nécessairement un groupe.

Pour le cas 2 (où les entrées de matrices dans $\mathcal{B}$ sont dans $\{0,\pm1\}$, Je pense qu'il sera facile de montrer que le groupe de matrices stabilisant l'ensemble $\mathcal{B}$ se composera de matrices de permutation où toutes les entrées peuvent être $\pm1$ en modifiant la partie 1 des remarques ci-dessus (ici une moyenne des matrices $Q = \mathrm{diag}(\pm1, \ldots, \pm1)P$, où $P$ est une matrice de permutation).

Edit: Cela peut être beaucoup plus compliqué si vous voulez trouver toutes les paires$(Q_{1}, Q_{2})$ avec $Q_{1} \neq Q_{2}$. Ou peut-être pas, je ne l'ai pas essayé.