Maximum de $(\sin{x} + \sqrt3)(\cos{x}+1)$

Question

Le problème est

Maximum de $(\sin{x} + \sqrt3) (\cos{x}+1)$

J'ai essayé de régler $\sin(t) = y$, $\cos(t) = x$, de sorte que le problème s'est avéré être de trouver

Max $(y + \sqrt3)(x + 1)$

st $x^2 + y^2 =1 $

J'ai essayé les multiplicateurs de Lagrange, mais cela s'avère être une équation quartique.

J'ai aussi essayé une transformation linéaire pour que le problème devienne

Max $x^2 - y^2$

st $(x + \frac{\sqrt3+1}{2})^2 + (y - \frac{\sqrt3-1}{2})^2 = 1$

Puisque $x^2-y^2$ est la surface de la selle, la réponse n'est toujours pas anodine.

Pouvez-vous m'aider à trouver la solution?

Answer 1

On peut procéder par identités de demi-angle tangent pour obtenir

$$f(t)=\left(\frac{2t}{1+t^2} + \sqrt3\right) \left(\frac{1-t^2}{1+t^2} + 1\right) \implies f'(t)=-4\frac{\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1}{(1+t^2)^3}$$

et depuis

$$g(t)=\sqrt 3t^3+3t^2+\sqrt 3t-1 \implies g'(t)=3\sqrt 3t^2+6t+\sqrt 3=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2\ge 0$$

nous avons ça $f'(t)$ n'a qu'une seule racine qui correspond au maximum pour $f(t)$.

Maintenant depuis

$$g'(t)=3\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^2 \implies g(t)=\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3+c$$

en expansion, nous trouvons $c=-\frac43$ donc la racine est donnée par

$$\sqrt 3\left(t+\frac{\sqrt 3}{3}\right)^3=\frac43 \implies t\approx 0.339$$