Méthode de recherche de CDF marginaux

Question

Je souhaite calculer la CDF marginale d'une fonction de distribution de probabilité conjointe. Cependant, je ne suis pas sûr des limites que je suis censé utiliser et je souhaite les vérifier. Supposons que j'ai l'expression:

$$f_{XY}(x,y)=x^2y$$ $$-1<x<1$$ $$0<y<\sqrt{3}$$

Je souhaite calculer le CDF marginal. Si je souhaite faire cela, je peux appliquer la relation:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,y)$$

Et je calcule le CDF cumulatif comme suit:

$$F_{XY}(x,y) = \int_0^y \int_{-1}^xu^2v\,du\,dv = \frac{(x^3+1)y^2}{6}$$

Je pense que ce sont les limites correctes parce que $f_{xy}$est nul par rapport à X et Y lorsque x <-1 ou y <0. Ainsi, les bornes inférieures doivent être -1 et 0. Les bornes supérieures semblent également appropriées, ce n'est pas la moindre raison pour laquelle si je laisse x = 1$y=\sqrt{3}$, Je me retrouve avec F = 1. Si je souhaite maintenant calculer la CDF marginale par rapport à X, je ferais:

$$F_X(x) = \lim_{y \to \infty}F_{XY}(x,\infty)$$

Mais la simple substitution donne une réponse non liée, ce qui ne peut pas être le cas, puisque les probabilités vont de 0 à 1. Mes questions sont donc (1) puis-je calculer le CDF marginal directement à partir du PDF ou du PDF marginal et (2) devrais-je utiliser le lié $\sqrt{3}$lors du calcul du CDF marginal en utilisant la relation directement ci-dessus? Je crois que je devrais utiliser$\sqrt{3}$, puisque si je considère le pdf, il est nul quand $y>\sqrt{3}$, et puisque la nature par morceaux de la fonction pdf implique que la probabilité de Y est de 1 lorsque $y>\sqrt{3}$.

Answer 1

Tout d'abord, oui, vous pouvez calculer le CDF marginal à partir du PDF conjoint:

$$P\left(X \leq x\right) = \int^{x}_{-1} \int^{\sqrt{3}}_0 f_{XY}\left(x,y\right) dy\,dx.$$

Seconde,

$$\lim_{y\rightarrow\infty} F_{XY}\left(x,y\right) = F\left(x,\sqrt{3}\right)$$

pour les raisons que vous décrivez.

Answer 2

Fermer. Vous devez inclure les supports et au-delà dans votre CDF. Parce que les limites vers l'infini tendent vers$1$, comme vous l'avez noté , cela devrait donc être indiqué.

$$\begin{align}\mathsf F_{\small X,Y}(x,y)&=\dfrac{\small((x^3+1)\mathbf 1_{-1\leqslant x<1}+2\cdotp\mathbf 1_{1\leqslant x})(y^2\mathbf 1_{0\leqslant y<\surd 3}+3\cdotp\mathbf 1_{\surd 3\leqslant y})}{6}\\[3ex]&=\begin{cases}0&:& x<-1\text{ or }y<0\\(x^3+1)y^2/6&:&-1\leqslant x<1, 0\leqslant y<\surd 3\\y^2/3&:&1\leqslant x, 0\leqslant y<\surd 3\\(x^3+1)/2&:&-1\leqslant x<1,\surd 3\leqslant y\\1&:& 1\leqslant x, \surd 3\leqslant y\end{cases}\end{align}$$

Ce qui, bien sûr, montre également comment obtenir le CDF marginal.