Module de multiplication non cyclique

Question

Selon la définition de Barnard (1980), un module de multiplication est un $R$-module $M$ dans lequel pour tous les sous-modules $N$, il existe un idéal $I$ de $R$ tel que $N=IM$. Notez qu'un cyclique$R$-module (un module généré par un élément), disons $\langle m\rangle$ est un module de multiplication puisque tous ses sous-modules, disons $N$, peut être écrit comme $Im=I(Rm)$ où $I=\langle r_i\ |\ r_im\in N\rangle$.

Ma question est: existe-t-il un exemple de module de multiplication non cyclique? J'ai essayé quelques exemples tels que$M_{2\times1}(\mathbb Z)$ plus de $M_{2\times2}(\mathbb Z)$, puisque je pensais que c'était non cyclique $\mathbb Z$, mais il s'avère que c'est cyclique sur $M_{2\times2}(\mathbb Z)$. Existe-t-il un exemple de base d'un module de multiplication non cyclique? Merci d'avance!

Answer 1

Deux exemples simples:

(1) Un idéal inversible est un module de multiplication. En effet, si$I$ est inversible et $J \subseteq I$ puis $K = I^{-1}J \subseteq R$ est un idéal et $J = IK$. Cela pointe vers n'importe quel domaine Dedekind qui n'est pas un PID comme source d'idéaux multiplicatifs qui ne sont pas principaux.

(2) Chaque idéal généré par les idempotents est un module de multiplication. Ceci est également facile à vérifier. Ainsi par exemple, dans tout produit infini d'anneaux$\prod R_\alpha$, l'idéal généré par les vecteurs de base standard est un module multiplicatif qui n'est pas principal.