ODE en variable $r$

Question

Je suis sûr que c'est une question simple mais j'aurai besoin d'aide.

En essayant de résoudre un PDE en utilisant la séparation des variables, je suis tombé sur un ODE.

Je veux résoudre l'ODE suivant: $$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$

La solution est $A\cos(\lambda r)/r +B\sin(\lambda r)/2\lambda r$

Il vérifie lorsque vous le branchez, mais comment pouvons-nous obtenir la solution?

Answer 1

$$\frac{R''(r)+\frac{2}{r}R'(r)}{R(r)}=-\lambda^2$$ $$r{R''(r)+{2}R'(r)}=-rR(r)\lambda^2$$ Réécrivez-le comme: $$(rR(r))''=-rR(r)\lambda^2$$ $$(rR(r))''+rR(r)\lambda^2=0$$ Maintenant, résolvez-le simplement comme suit: $$y''+\lambda^2y=0$$ Où $y=rR(r)$. C'est juste une équation différentielle linéaire du second ordre qui est facile à résoudre.