$p$-présentation adique

Question

Je lis sur $p$-présentation adique. Je n'arrive pas à comprendre comment$p$-la représentation adique est une sorte d'image miroir de la base $p$ représentation de nombres réels.

Donné $\alpha \in \mathbb Q_{p}$ avec

$$ \alpha = \sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,$$

nous pouvons écrire $\alpha$ comme $$ \alpha = \cdots a_3a_2a_1a_0.a_{-1}a_{-2} \cdots a_{-r}.$$

Je n'arrive pas à comprendre comment on peut ajouter et multiplier $p$-numéros adiques. Quelqu'un pourrait-il expliquer avec un exemple concret? Peut-être ($\cdots 555.5)^2$ dans $\mathbb Q_{7} $ depuis que j'ai lu et que je ne comprends pas du tout?

Answer 1

Ma recommandation est la suivante: préparez-vous une table d'addition et une table de multiplication pour les entiers $0,1,\dots,6,7$, qui sont notés $0,1,\dots,6,10$en notation septaire. Ensuite, procédez à votre multiplication exactement de la même manière que (j'espère que) vous avez appris à l'école primaire, avec des courses, et ainsi de suite. Vous verriez un modèle, depuis$\dots555;5$ est le nombre rationnel $\frac{-5}{42}$, mais cela prend un certain temps pour qu'il apparaisse. À trente places, votre carré de ce qui précède s'avère être$$\dots2065432065432065432065432065;44 $$

Bien que j'aie fait beaucoup de $p$-des calculs adiques de ce type à la main, je vous assure que pour ce calcul j'ai eu l'aide d'un package qui gère $p$-numéros adiques.

Answer 2

$\Bbb{Z}_7$ et $\Bbb{Q}_7$ sont l'achèvement de $\Bbb{Z}$ et $\Bbb{Q}$ pour la valeur absolue $|p^k c/d|_7= p^{-k},p\nmid c,p\nmid d$. Ensuite, cela fonctionne de la même manière que pour$\Bbb{R}$ l'achèvement $\Bbb{Q}$ pour $|.|_\infty$. Approcher concrètement votre série$\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k$ par $\sum_{k=-r}^n a_{k}p^k,\sum_{k=-r}^n b_{k}p^k$, multipliez en nombres rationnels standard, vous obtenez une approximation de $(\sum_{k=-r}^{\infty} a_{k}p^k)(\sum_{k=-r}^{\infty} b_{k}p^k)$