Paramètre de précision d'une estimation d'une distribution de Bernoulli

Question

Disons $X_i ∼ Bernoulli(p)$ pour $p \in (0,1)$. Nous pouvons déterminer la valeur de$p$ en utilisant un certain nombre $t$ d'échantillons iid $X_1, ... , X_t ∼ Bernoulli(p)$. Par conséquent, nous avons$\bar X=\tfrac {\sum_{i=1}^tX_t}t$.

Maintenant je veux trouver le seuil de précision, $\alpha$, trouver $t$ en terme de $p$ et $\alpha$ tel que $$P[(1-\alpha)p \leq X \leq (1 + \alpha)p] > \frac{9}{10}$$ et $\alpha \in (0,1)$.

Je ne sais pas par où commencer. Ma compréhension de ce que cela signifie est la suivante: combien de fois devons-nous échantillonner (qui est le paramètre$t$) de telle sorte que nous obtenons une précision d'au moins 90% lors de l'estimation $p$ utilisant $X$ étant donné que $X$ peut être inexacte à un seuil de $\alpha$.

Est-ce la bonne façon de penser à ce problème? Si tel est le cas, mon approche serait, disons$t=1$, alors quelle est ma précision? En résolvant ce problème, comment la précision change-t-elle avec l'augmentation$t$?

Donc quand $t=1$, on a $\bar X = \frac{X_1}{1}$. C'est là que je suis coincé. Comment puis-je incorporer$\alpha$ et calculer $P(X)$?

Answer 1

Vous pouvez utiliser l'inégalité de Hoeffdings qui indique que pour tout $\epsilon > 0$, $$ P\left( \left |\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - p \right| > \epsilon \right) \le 2 \exp (-2n\epsilon^2). $$ Cela implique que $$ P\left( \left |\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i - p \right| \le \epsilon \right) \ge 1- 2 \exp (-2n\epsilon^2) =: 1-\delta. $$ Mettre d'une manière légèrement différente, nous avons avec probabilité $1-\delta$ cette $$ p-\epsilon \le \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \le p+\epsilon. $$ Notez maintenant que $$ \delta = 2 \exp (-2n\epsilon^2) \implies n = \frac{1}{2 \epsilon^2} \log (\frac{2}{\delta}), $$ notez en fait que ce nombre peut ne pas être un entier, nous devons donc prendre $n=\lceil \frac{1}{2 \epsilon^2} \log (\frac{2}{\delta}) \rceil $ donc dans votre cas, si nous prenons $\delta =0.1$et spécifiez une tolérance de $\epsilon =0.05$, ensuite $$ n=\lceil \frac{1}{2\times 0.05^2} \log (\frac{2}{0.1}) \rceil = \lceil 599.15\rceil = 600 $$ La taille de l'échantillon augmente évidemment avec votre tolérance $\epsilon$ diminue (plus d'échantillons sont nécessaires pour être sûr que le paramètre se situe dans un intervalle plus petit.

Notez qu'il existe des limites plus nettes que Hoeffding, mais cela devrait être un bon début pour votre analyse.