Points d'intersection de $n$ paraboles

Question

C'est une question qui vient de surgir dans l'esprit de mon ami aujourd'hui:

Il y a $n$paraboles dans un avion. Quels sont les points d'intersection maximum et minimum possibles? Nous devons supposer que toutes les paraboles sont distinctes. De plus, toutes les paraboles sont de taille identique, c'est-à-dire que leur longueur de latus rectum est la même.

Je pensais que le nombre minimum de points d'intersections serait $n$. Nous pouvons y parvenir en disposant les sommets de toutes les paraboles sur un cercle de grand rayon et ensuite nous pouvons voir que deux paraboles adjacentes se croisent. Mais cette méthode échoue pour$n = 1, 2, 3, 4$ parce que nous pouvons avoir $4$ paraboles sans intersections.

Comment aborderais-je ce problème?

Éditer:

Avec l'aide de MarkBennet dans les commentaires, j'ai réalisé que nous pouvons facilement faire des points d'intersection$0$. Cela peut être fait en plaçant simplement la parabole suivante traduite le long de l'axe de la parabole précédente.

Answer 1

$\color{brown}{\textbf{Used parabolas.}}$

Si l'équation de la parabole en coordonnées cartésiennes est $$y=x^2+R,$$ puis en coordonnées polaires $\;x=r\cos t,y=r\sin t\;$ il prend la forme de $$r^2\cos^2 t - r\sin t +R =0,$$ avec le discriminant $\;D=\sin^2 t - 4R\cos^2 t = 1-(4R+1)\cos^2 t,\;$ ce qui devrait être positif.

Par conséquent, la parabole considérée peut être inscrite dans un secteur d'un cercle illimité aux angles polaires $$t\in\frac\pi2\pm\arcsin\frac{1}{\sqrt{4R+1}} \subset \frac\pi2\pm \arctan\frac1{\sqrt{4R}},$$

dans lequel l'angle central du secteur est $$\Delta t(R) = 2\arctan\frac1{2\sqrt{R}}\;\underset{R\to \infty}{-\!-\!\!\!\to}\; 0,$$

ainsi il peut être rendu infiniment petit.

Cette caractéristique peut être illustrée par le tracé WA .

$\color{brown}{\textbf{Placing.}}$

Le placement des solutions possibles est montré sur les images ci-dessus, où chaque triangle coloré correspond au segment de départ (vide) du secteur illimité.

L'image de gauche illustre le placement des paraboles sans intersections.

L'image de droite illustre le placement des paraboles où chaque paire de paraboles a quatre points d'intersection.

Puisque chaque parabole peut être inscrite dans un secteur du cercle illimité avec le petit angle central arbitraire, alors

• le plus petit nombre d'intersections par paires de $\;n\;$ paraboles est $\;\color{brown}{\textbf{zero}},$ et
• le plus grand nombre d'intersections par paires de $\;n\;$ paraboles est $\;\color{brown}{\mathbf{2n(n-1)}}.$

En particulier, pour $\;n=3, R=25\;$ nous avons $2\cdot3\cdot(3-1)= 12$intersections (voir aussi graphique WA ).