Probabilité de défaillance structurelle
En ingénierie structurelle, nous devons accepter le fait que vous ne pouvez jamais être exactement sûr à quelle charge un élément de structure peut résister, que la capacité de charge d'un élément n'est pas une valeur exacte mais distribuée avec une fonction de distribution de probabilité (qualité du béton posé , par exemple, dépend beaucoup de nombreuses conditions sur le chantier, telles que la compétence des travailleurs, etc.). Il en va de même pour les charges structurelles. Par conséquent, nous ne pouvons pas dire avec une certitude absolue si certaines structures sont stables, nous ne pouvons calculer que certaines probabilités .
Dans l'image ci-dessous, la courbe de gauche représente la densité de probabilité des charges possibles, et celle de droite représente la densité de probabilité de la capacité de charge d'un élément structurel. L'axe des y est la densité de probabilité et l'axe des x est la charge structurelle. La zone rouge où les courbes se chevauchent est une plage de charges où une rupture structurelle est possible; avant cette plage, il existe une possibilité «nulle» que la capacité soit aussi faible, par conséquent, la capacité doit être supérieure à toute charge possible (la défaillance est définie comme un scénario où la charge est supérieure à la capacité). Au-delà de cette plage, la charge a une possibilité «nulle» d'être supérieure à la capacité donc pas de risque de défaillance.
La probabilité réelle de défaillance peut être calculée comme suit, selon Wikipédia:
$${\displaystyle P_{f}=\int _{0}^{\infty }F_{R}(s)f_{s}(s)\,ds\qquad \mathrm {} }$$
où $F_R(s)$ est la probabilité de la fonction de distribution cumulée de la résistance / capacité (R) et $f_s(s)$ est la densité de probabilité de la charge (S).
J'ai du mal à comprendre pourquoi la formule ci-dessus donne la probabilité d'échec. Cela est censé donner la probabilité que la charge soit supérieure à la capacité / résistance, mais je ne peux tout simplement pas comprendre comment cela fonctionne. Quelqu'un pourrait-il m'expliquer cela plus en détail? Je connais les fonctions de distribution de probabilité et les fonctions de distribution cumulative, mais je ne comprends pas ce qui se passe ici. Pourquoi prenez-vous la fonction cumulative de la résistance de charge mais la fonction de densité de probabilité de la charge?
Réponses
Comme mentionné par @mart ci-dessus, je pense qu'il y a quelque chose qui ne va pas avec la courbe de $F_R(s)$. Le texte énonce la fonction cumulative, donc cela aurait dû être quelque chose comme.
La façon dont j'expliquerais la probabilité d'échec est la suivante. Il y a défaillance si la charge est supérieure (S) à la capacité de résistance structurelle (R). Vous voulez donc itérer sur toutes les charges possibles (donc la densité de probabilité d'une charge s).
En supposant que vous obtenez une charge structurelle s de S par exemple 1 [kN]. Si la structure a R supérieur à S, il n'y a pas de défaillance. Vous êtes donc intéressé par toutes les valeurs, en dessous de S. C'est la probabilité de$$P(R\le S) = \int_{0}^Sf_R(s)ds = CDF_R(s)=F_R(s)$$.
Puisque les deux probabilités (A: charge en S), (B: la résistance R est inférieure ou égale à la charge S) sont statistiquement indépendantes, leur probabilité de se produire simultanément est donnée par:
$$P(A\cap B) =P(A)\cdot P(B)= f_s(s)\cdot F_R(s)$$
Il ne vous reste plus qu'à intégrer sur toute la gamme de $s$. Cela vous permet:
$$P_{f}=\int _{0}^{\infty }F_{R}(s)f_{s}(s)\,ds$$
TL; DR Je pense que l'entrée de Wikipédia est incorrecte et prête à confusion.
Supposons que la capacité de résistance ait une fonction de densité de probabilité entre 1 kN et 2 kN et qu'elle soit égale à 0 partout ailleurs.
Que se passe-t-il si vous appliquez une charge de 1 000 kN? Réponse: l'échec de la structure est garanti.
Vous devez donc utiliser la fonction de densité cumulée pour la résistance. La densité cumulée est de 1,0 pour toute charge supérieure à 2 kN.
SI vous utilisez la densité de probabilité pour la résistance au lieu de la densité cumulée, vous dites que la structure peut tomber en panne pour des charges comprises entre 1 kN et 2 kN, mais qu'elle ne tombera pas en panne pour toute charge supérieure à 2 kN, ce qui est évidemment faux.