Probabilité de main de poker

Question

Je ne sais pas comment résoudre le problème suivant

Piochez au hasard 5 cartes d'un jeu de cartes. Quelle est la probabilité d'obtenir deux paires et l'une des 5 cartes est Heart-7 (♥ 7)?

Je l'ai résolu de cette façon:

Cas 1 (7 est une paire): (3C1) (12C1) (4C2) (11C1)

Cas 2 (7 n'est pas une paire): (12C2) (4C2) ^ 2

La probabilité est donc: ((3C1) (12C1) (4C2) (11C1) + (12C2) (4C2) ^ 2) / (52C5)

Mais je pense qu'il me manque quelque chose

Answer 1

Pas assez. Dans le premier cas, il y a en fait$44$ possibilités pour la carte impaire, non $11$: il peut s'agir de l'un des $44$cartes de dénominations différentes de celles des deux paires. Si vous préférez, c'est$\binom{11}1\binom41$: $11$ les moyens de choisir la dénomination impaire, et $4$ façons de choisir une carte de cette dénomination.

Answer 2

Cas 1 (7 est une paire): (3C1) (12C1) (4C2) (11C1)

Sélectionner $7\heartsuit$ et une $7$ de trois autres costumes, un de douze autres types en deux de quatre costumes (l'autre paire), et un des onze types restants $\color{red}{\textit{in one from four suits}}$ (le singleton).

$$\def\binom#1#2{\mathop{^{#1}\mathsf C_{#2}}} {\binom 31\,\binom{12}{1}\binom 42\,\binom {11}1\binom 41}$$

Cas 2 (7 n'est pas une paire): (12C2) (4C2) ^ 2

Sélectionner $7\heartsuit$ comme le singleton, et deux de douze types chacun dans deux de quatre costumes.$$\color{silver}{\binom{1}{1}}\,\binom{12}2{(\binom 42)}^2$$