Probabilité sur QCM

Question

Il y a 3 questions vraies ou fausses dans un examen, si un candidat connaît la réponse, il y répond correctement, sinon une estimation est faite et la probabilité de réussir est de 1/2, un examinateur suppose que chaque candidat ne connaît pas de réponse , 1 réponse, 2 réponses, 3 réponses avec des probabilités égales, un candidat a répondu correctement à deux des trois questions, quelle est la probabilité que ce candidat connaisse la réponse à une seule d'entre elles?

(A) 1/11. (B) 2/11. (C) 3/11. (D) 4/11.

Donc, pour la probabilité requise, le numérateur doit avoir la condition que sur 2 suppositions, 1 est correcte et une autre non, donc la probabilité peut être $3C2$ × $1/2$ × $1/2$ mais quel sera le dénominateur?

Answer 1

Nous effectuons un calcul plus détaillé, trouvant la probabilité que l'élève ait $y=2$ juste et savait $x$ pour $x=0,1,2$: $$P(y=2\mid x=0)=\binom32(1/2)^3=\frac38$$ $$P(y=2\mid x=1)=\binom21(1/2)^2=\frac12$$ $$P(y=2\mid x=2)=\frac12$$ (Nous n'avons pas besoin de calculer pour $x=3$ car dans ce cas nous aurions $y=3)$. Enfin, par probabilité totale et depuis$x=0,1,2,3$ avec une probabilité égale, $$P(x=1\mid y=2)=\frac{1/2}{3/8+1/2+1/2}=\frac4{11}$$