Problème dans les représentations de $D_4$

Question

Problème

Laisser $G=D_4=\langle a,b\ |\ a^4=b^2=1,\ ab=ba^{-1}\rangle$ et $V=\mathbb{C}^2$ avec socles $\{e_1,e_2\}$. Nous voyons$V$ comme un $\mathbb{C}G-$module avec action $ae_1=e_2,\ ae_2=-e_1$ et $be_1=e_1, \ be_2=-e_2$.

1. Calculer le caractère $\chi_V$ et montrez que le $\mathbb{C}G-$module $V$ est irréductible.

Je l'ai trouvé $\chi_V(1)=2,\ \chi_V(a)=0,\ \chi_V(b)=0,\ \chi_V(a^2)=-2,\ \chi_V(ab)=0$ et cela $[\chi_V,\chi_V]=1$ d'où le $\mathbb{C}G-$module $V$ est irréductible.

1. Examiner si $V\otimes_{\mathbb{C}}V$ a un $\mathbb{C}G-$sous-module isomorphe à $\mathbb{C}G$.
2. Pour chaque $n\ge1$ nous avons le $\mathbb{C}G-$module $V_n=V^{\otimes n}$. Trouver tout$n$ pour lequel il existe $w\in V_n$ st $w\not=0$ et $gw=w,\ \forall g\in G$.

Je dois trouver $n$ st $V_n^G=\{v\in V_n\ | \ gv=v\ \forall g\in G\}\not=\emptyset\iff dim_{\mathbb{C}}V_n^G\ge1$. Je sais que$dim_{\mathbb{C}}V_n^G=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_{V_n}(g)=\dfrac{1}{|G|}\sum_{g\in G}[\chi_{V}(g)]^n=\begin{cases} 0, \ n\ \text{ is odd}\\ \ge1,\ n \ \text{is even} \end{cases}$. Donc ça doit être$n\in2\mathbb{Z}$.

(a) Mon approche est-elle $1,3$ correct?

(b) Toute idée de $2$?

(c) Existe-t-il une méthode générale pour voir si un module $A$ contient une image isomorphe d'un module $B$en utilisant des caractères? En particulier, comment pourrais-je déterminer si pour un$\mathbb{C}G-$ module $V$, $V\otimes_{\mathbb{C}} V$ contient un $\mathbb{C}G-$ sous-module isomorphe à $V$?

Merci d'avance!

Answer 1

1. Montrant $\langle \chi_V, \chi_V\rangle = 1$ c'est bien.

2. En général, $\langle \chi_V, \chi_{\mathbb{C} G}\rangle = \dim V$. C'est juste parce que$\chi_{\mathbb{C}G}(g) = |G| \delta_{g=1}$, donc le produit scalaire retire simplement $\chi_V(1) = \dim V$. Cet exemple montre qu'en effet$\langle \chi_V, \chi_W\rangle$ n'a pas besoin de vous dire grand-chose pour savoir si $V$ contient $W$. Cela montre également que$V$ contient $\mathbb{C}G$ si et seulement si pour tous les irréductibles $W$, $\langle \chi_V, \chi_W\rangle \geq \dim W$. Cette dernière condition est bien sûr facile à vérifier si vous savez tout$\chi_W$C'est explicitement, et pour un si petit groupe, vous pouvez les élaborer à la main.

3. L'informatique $\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \chi_V(g)^n$ c'est génial.

Dans ce cas particulier, il est facile de voir $\langle \chi_V^2, \chi_V\rangle = 0$, donc $V \otimes V$ ne contient pas l'irréductible $V$, donc il ne peut pas contenir $\mathbb{C}G$ et vous n'avez pas à vérifier d'autres inégalités ou à rechercher d'autres personnages irréductibles.