Problème de type théorème de différenciation de Lebesgue

Question

Je viens de lire une preuve du théorème de différenciation de Lebesgue en $\mathbb{R}^n$et j'ai tenté un exercice connexe dans le livre que j'utilise (le livre de la théorie de la mesure du Tao). Je suis incapable de comprendre cela et j'espérais obtenir des conseils ou des astuces:

Pour chaque $h > 0$, laisser $E_h \subset B(0, h)$ tel que $m(E_h) \geq c \cdot m(B(0, h))$ pour certains $c > 0$ qui est indépendant de $h$. Si$f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{C}$ est localement intégrable, avec $x$ un point Lebesgue de $f$, puis prouvez que $$\lim_{h \to 0} \frac{1}{m(E_h)} \int_{E_h + x} f(y) \, dy = f(x).$$

Je sais que c'est quelque chose qui découle du théorème de différenciation de Lebesgue (LDT), mais après quelques étapes, je ne sais pas vraiment où aller. J'ai commencé par noter que par invariance de traduction, nous avons que$m(E_h) \geq c \cdot m(B(x, h))$ donc depuis que nous avons $$\lim_{h \to 0} \frac{1}{m(B(x, h))} \int_{B(x, h)} f(y) \, dy = f(x),$$ par le LDT il s'ensuit que $$\lim_{h \to 0} \frac{c}{m(E_h)} \int_{B(x, h)} f(y) \, dy \leq f(x),$$mais je n'ai aucune idée de où aller à partir de là. Je ne sais pas comment changer le domaine de l'intégration sans compliquer davantage les choses, et je ne sais pas non plus comment obtenir l'autre inégalité. Tous les conseils ou suggestions seraient super!

Answer 1

Wow, je me sens stupide de ne pas avoir eu ça plus tôt mais peu importe. Par invariance de translation de la mesure de Lebesgue, nous avons que$m(B(0, h)) = m(B(x, h))$ pour tous $x \in \mathbb{R}^n$ puisque $B(x, h) = x + B(0, h)$. Notez que si$E_h \subset B(0, h)$ puis il s'ensuit que $x + E_h \subset B(x, h)$. Ainsi, en mettant ces deux faits ensemble avec l'hypothèse que$m(E_h) \geq c \cdot m(B(0, x))$ pour certains $c > 0$, on voit ça $m(E_h) \geq c \cdot m(B(x, h))$ pour tous $x \in \mathbb{R}^n$. Ensuite, par le théorème de différenciation de Lebesgue, nous avons que

$$\lim_{h \to 0} \frac{c}{m(E_h)} \int_{B(x, h)} |f(y) - f(x)| \, dy \leq \lim_{h \to 0} \frac{1}{m(B(x, h)} \int_{B(x, h)} |f(y) - f(x)| \, dy = 0$$

Et puisque (E_h + x \ sous-ensemble B (x, h), $ puisque out intégrande est non négatif nous avons par monotonie de domaine que

$$ \ lim_ {h \ à 0} \ frac {c} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) - f (x) | \, dy \ leq \ lim_ {h \ à 0} \ frac {c} {m (E_h)} \ int_ {B (x, h)} | f (y) - f (x) | \, dy \ leq 0 $$

Et puis évidemment puisque notre intégrande est non négative cela implique que

$$ \ lim_ {h \ à 0} \ frac {c} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) = f (x) | \, dy = 0 \ Rightarrow \ lim_ {h \ à 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) - f (x) | \, dy = 0, $$

qui veut dire

$$ \ left | \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) - f (x) \, dy \ right | \ leq \ lim_ {h \ à 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} | f (y) - f (x) | \, dy = 0, $$

Et ainsi

$$ \ left | \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) - f (x) \, dy \ right | = 0 \ Rightarrow \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) - f (x) \, dy = 0, $$

donc par linéarité de l'intégrale on a que

$$ \ lim_ {h \ à 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) \, dy = \ lim_ {h \ à 0} \ frac {f (x )} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} \, dy = \ lim_ {h \ to 0} \ frac {f (x)} {m (E_h)} \ int _ {\ mathbb {R} ^ d} \ mathbb {1} _ {x + E_h} (y) \, dy $$

l'intégrale de droite égalant évidemment $ m (x + E_h) = m (E_h) $ par invariance de translation, et donc nous avons que

$$ \ lim_ {h \ to 0} \ frac {1} {m (E_h)} \ int_ {x + E_h} f (y) \, dy = f (x). $$