Prouve-le $Nullity(AB)=Nullity(B)$ et $Range(AB)=Range(B)$

Question

Soit le terrain $K=\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. $A \in K^{m\times n}$ est une matrice associée à une transformation linéaire $A: K^n\rightarrow K^m$, où $m,n \in Z_{+}$. Nous définissons:

\begin{align*} \operatorname{nullity} (A)=\dim (\ker A)&= \dim\left(\left \{ x \in K^n : Ax=0\right \}\right), \left \{ x \in K^n : Ax=0\right \} \subset K^n \\ \operatorname{range} (A)=\dim (\operatorname{Im}(A))&= \dim\left \{ y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \},\left \{\forall y \in K^m, \exists x \in K^n : y=Ax \right \} \subset K^m \end{align*}

1. Si $A\in K^{n\times n}$ est une matrice inversible, prouvez que $AB$ a la même nulle et la même plage que B, pour toute matrice $B \in K^{n\times m}$
2. Si $m=n$, qui est la relation entre les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices $AB$ et $BA$.

Voici ce que j'ai fait pour 1 :

\begin{align*} ABx=0 \iff& Bx=0 \text{ since, } A \text{ is invertible}\\ \iff& x\in \operatorname{ker}(B) \ \ \forall x \in \operatorname{ker}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{nullity}(AB)=&\dim(\operatorname{ker} (AB))=\dim(ker(B)) =\operatorname{nullity}(B) \end{align*}

De l'autre côté, nous avons cela,

\begin{align*} \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(AB)+\operatorname{range}(AB)\\ \dim(K^m)=&\operatorname{nullity}(B)+\operatorname{range}(B) \end{align*}

Et aussi, \begin{align*} \dim(AB)=\dim(B) \ \ \ \ \ &\ \ \ \ \ \ \operatorname{nullity}(AB)=\operatorname{nullity}(B)\\ \\ \Rightarrow \operatorname{range}(AB)&=\operatorname{range}(B) \end{align*}

Ai-je raison? Ou qu'est-ce que je fais de mal?

Et pour 2 je ne sais pas quelle est la relation entre les valeurs propres et les vecteurs propres des matrices AB et BA.

J'apprécierais vraiment votre aide!

Answer 1

Les arguments pour (1) sont corrects (principalement: supprimez le $b$ dans $bBx=0$et remplacez $\dim(B)$ par $\dim(K^m)$.)

Pour (2), supposons $ABv=\lambda v$, ($v\ne0$). ensuite$$BA(Bv)=B(ABv)=\lambda Bv$$ donc $Bv$ est un vecteur propre de $BA$ avec valeur propre $\lambda$, sauf si $Bv=0$ (c'est à dire, $\lambda=0$).
Inversement, si$BAw=\mu w$ puis $Aw$ est un vecteur propre de $AB$, sauf si $Aw=0$.

Conclusion: les valeurs propres de $AB$ sont les mêmes que ceux de $BA$, sauf éventuellement pour les valeurs propres nulles (je ne peux pas dire dans ce cas).