Prouver que l'espace est simplement connecté semi-localement

Question

Laisser $X$être connecté et connecté localement au chemin. Supposer$X$ a une carte de couverture $p:\tilde{X} \rightarrow X$ tel que $\pi_1(\tilde{X};\tilde{x_0})$ est le groupe trivial pour certains points de base $\tilde{x_0} \in \tilde{X}$.
Je voudrais montrer que cela implique que$X$est semi-localement simplement connecté.
Donc je dois montrer que pour chaque$x \in X$ et n'importe quel quartier $V$ de $x$ il existe un sous-ensemble ouvert $U \subset X$ tel que $x \in U$ et l'homomorphisme $i_*:\pi_1(U;x) \rightarrow \pi_1(X;x)$ induit par la carte d'inclusion $i:U \rightarrow X$est trivial.
Je ne sais pas vraiment par où commencer. Dois-je utiliser le critère de levage?

Answer 1

En supposant $\tilde X$est connecté. Donc votre condition montre que$ \pi_1(\tilde X,\tilde x)=0 \ \forall \ \tilde x\in \tilde X$.

Je montrerai si $x_0\in X$ et $\tilde x_0$ réside dans la fibre sur $x_0$ de $\tilde X\xrightarrow{p}X$, puis $ \pi_1(\tilde X,\tilde x_0)=0\implies X$ est semi-localement simplement connecté à $x_0$.

Choisissez un quartier connecté à un chemin ouvert $U\ni x_0$ et laissez $\tilde U\ni \tilde x_0$ tel que $p:\tilde U\rightarrow U$est un isomorphisme. Ensuite, nous avons le diagramme commutatif

$$\require{AMScd} \begin{CD} \tilde U @>\tilde i>> \tilde X\\ @Vp|_{\tilde U}VV @VpVV \\ U @>i>> X \end{CD} $$ Postuler $\pi_1$ on obtient le diagramme commutatif suivant $$\require{AMScd} \begin{CD} \pi_1(\tilde U,\tilde x_0) @>\tilde i_*>> \pi_1(\tilde X,\tilde x_0)\\ @V(p|_{\tilde U})_*VV @Vp_*VV \\ \pi_1(U,x_0) @>i_*>> \pi_1(X,x_0) \end{CD} $$

Ainsi on obtient de la commutativité $i_*(p|_{\tilde U})_*=p_*\tilde i_*=0$ depuis $\pi_1(\tilde X,\tilde x_0)=0$

Depuis $(p|_{\tilde U})_*$ est un isomorphisme, on obtient $i_*=0$

L'application de cet argument à d'autres points complète la preuve.

Edit: Pour le cas général, laissez$\tilde X=\bigsqcup_i \tilde X_i$ être les composants connectés de $\tilde X$. Dire$\tilde x_0\in \tilde X_{i_0}$ ensuite $p|_{\tilde X_{i_0}}:\tilde X_{i_0}\rightarrow X$ est une carte de couverture avec $\tilde X_{i_0} $ connecté et vous êtes de retour au cas précédent.