Quelle est la différence entre les mathématiques avancées et les mathématiques d'introduction?

Question

Si je lis un livre sur l'analyse ou la théorie des ensembles ou l'algèbre, etc., je commence par un cours d'introduction (évidemment) mais si les mathématiques, à la fin, ce n'est qu'un tas de théorèmes et de preuves, quelle est la différence entre ce que j'étudie et ce que quelqu'un qui est des études plus avancées? Plus de théorèmes? Dans quelle mesure pouvez-vous approfondir un sujet? Par exemple, si j'apprends parfaitement 5 livres d'introduction sur la théorie des ensembles, combien me manque-t-il dans l'ensemble?

Answer 1

D'après mon expérience, après les livres d'introduction [généralement, d'enquête], vous devez vous familiariser avec le contenu d'au moins trois manuels plus modernes avant de pouvoir donner un sens aux articles de recherche récents dans ce domaine.

Par exemple, même si je ne peux pas parler pour la théorie des ensembles, si vous vouliez lire un article en algèbre, vous liriez un texte d'introduction à la théorie des groupes / anneaux / champs, puis vous pourriez prendre un livre sur la théorie des anneaux commutatifs, puis vous pourriez vous procurer des livres d'algèbre homologique et de géométrie algébrique, et selon l'article de recherche, il pourrait maintenant vous être accessible.

Bien sûr, peut-être pas, alors vous devrez prendre un livre sur les champs de nombres sur des courbes elliptiques et un autre livre sur la théorie d'Iwasawa, et puis vous avez des problèmes, car une fois que la communauté a renoncé à donner un roman théorique noms et à la place ne nomme que la théorie après l'un de ses développeurs, vous savez que vous êtes plutôt profond.