Quelques problèmes concernant la transformée de Fourier.

Question

Laisser $f:[0,\infty)\to \mathbb{C}$être une fonction intégrable. Laissez pour certains$m,n(>m)\geq 0,$ $f$ satisfait $$\int_m^n e^{itz}f(t)dt\equiv 0, ~ \text{for all } z\in \mathbb{H}^+,$$ où $\mathbb{H}^+ =\{z|Im(z)>0\} .$

1.Est-il vrai que $f\equiv0$ sur $[m,n]$?

1. Est-ce que ce qui précède reste vrai si $n=\infty$?

Modifiez après la réponse:

1. Is (1), (2) restent vrais si nous supposons que $f$ est borné au lieu d'intégrable?

($\equiv$ signifie `` égal presque partout ''.)

Answer 1

Laisser $f_v(t) = e^{-vt} f(t)$. Supposer que$f_v$ est intégrable pour certains $v > 0$, ce qui est le cas si $f$ est mesurable et borné.

Votre hypothèse nous dit que la transformée de Fourier de $f_v \chi_{[m,n]}$ est zéro, ce qui implique que $f_v \chi_{[m,n]} = 0$, C'est, $f(z) = 0$ ae sur $[m,n]$. Cela fonctionne même si$n = \infty$.