Question concernant la notation de $\equiv$ et $\iff$

Question

Quelle différence fait la notation de ces deux termes? $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(𝑥∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(𝑥∈𝑋\equiv𝑥∈𝑌) $$

Answer 1

La formule peut être lue comme

$X=Y \equiv_{Def}\forall(x) ( x\in X \leftarrow\rightarrow x\in Y)$

(En mots: dire que X = Y est logiquement équivalent (par définition) à dire que X et Y ont exactement les mêmes éléments).

avec

• $\equiv_{Def}$ dénotant l'équivalence logique (plus précisément, l'équivalence par définition)

et

• $\leftarrow\rightarrow$ désignant l'équivalence matérielle ou la bi-implication matérielle, qui est un opérateur fonctionnel de vérité.

La première relation est une relation métalogique; le second appartient au langage objet.

La relation entre l'équivalence logique et l'équivalence matérielle est la suivante: formules $\phi$ et $\psi$ sont logiquement équivalents lorsque les conditions matérielles $ (\phi\leftarrow\rightarrow\psi)$ est vrai dans tous les cas logiquement possibles.

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• L' iff qui se trouve au milieu est une équivalence logique, plus précisément une équivalence par définition. l'équivalence par définition fonctionne de la même manière que l'équivalence logique ordinaire (c'est-à-dire que deux propositions sont équivalentes juste au cas où il leur serait impossible de ne pas avoir des valeurs de vérité différentes, quel que soit le cas possible).

Remarque: l'équivalence est intéressante car elle permet de substituer la LHS à la RHS (et vice versa).

• L' iff qui se trouve sur le côté gauche n'est pas une équivalence logique, mais une bi-implication matérielle. Deux propositions sont matériellement équivalentes juste au cas où il arriverait effectivement qu'elles aient la même valeur de vérité, ou si vous préférez, juste au cas où il arriverait effectivement que nous n'ayons pas le premier vrai et le second faux, et réciproquement).

• Considérez cette application du principe d'extensionnalité.

Soit H l'ensemble des animaux qui ont un cœur et K l'ensemble des animaux qui ont des reins.

Le matériel conditionnel $\forall(x) ( x\in H \leftarrow\rightarrow x\in K)$ est vrai.

Par la définition de l'égalité des ensembles, la formule juste au-dessus équivaut logiquement à dire que les deux ensembles sont égaux, c'est-à-dire que c'est une impossibilité logique (une fois la définition énoncée) que le conditionnel $H=K$ pas, et vice versa.

Mais cela ne veut pas dire qu'avoir un cœur équivaut logiquement à avoir des reins. Il arrive simplement que, en fait, les deux ensembles aient exactement les mêmes éléments, mais un monde dans lequel un animal a un cœur sans avoir de reins (ou l'inverse) est toujours logiquement possible.

Pour le dire brièvement: l'identité d'ensemble est logiquement équivalente à la co-extensionalité; mais, par elle-même, la coextensionnalité tient même lorsqu'elle n'est que factuelle ou contingente. D'où le matériel conditionnel au LHS.

Answer 2

Une façon de le lire est une formule sigle, c'est-à-dire: deux ensembles sont égaux si "condition".

Dans ce cas, c'est une incohérence d'utiliser deux symboles différents pour le même concept: le bi-conditionnel.

Une autre lecture est de la considérer comme une "abréviation", c'est-à-dire: on écrit $X=Y$ exactement quand la "condition" tient.

Dans ce cas, il n'y a aucun avantage à traduire le "sf" le plus à gauche par un symbole. L'abréviation n'est pas une formule du langage objet mais un énoncé dans le méta-langage, et il n'est pas nécessaire de le «formaliser».