Question de devoir: Probabilité conjointe

Question

J'ai tenté le problème suivant:

L'entrée X d'un canal de communication est $+1$ volt ou $-1$volt avec une probabilité égale. La sortie Y du canal est l'entrée plus une tension de bruit N uniformément répartie dans l'intervalle de$-2$ volts à $+2$volts. Trouvez la probabilité conjointe$P(X = +1, Y ≤ 0)$.

Voici ma tentative de solution:

Notons d'abord que la probabilité $P(X = +1)$ nous est donné dans le problème comme $1/2$ parce que le problème nous dit que l'entrée $X$ peut être soit $+1$ ou $-1$ avec une probabilité égale.

Nous devons trouver la probabilité $P(Y≤ 0)$. On nous dit que la sortie$Y$ est l'entrée $X$ plus $N$ qui est uniformément distribué à partir de $-2 $ à $2$.

Nous savons alors que si $ Y≤0$, puis $-2≤N≤ -1$

Parce qu'on nous dit que $N$ est uniformément distribuée, nous pouvons trouver la probabilité que $N$ répond à nos conditions comme suit:

$P(-2≤N≤ -1)=$$ \ frac {-1--2 \} {4} = \ frac18 $

Donc:

$ P (X = + 1, Y≤0) = \ frac12 \ times \ frac14 = \ frac18 $

Ma solution est-elle correcte? Dans le cas contraire, pourriez-vous s'il vous plaît signaler le (s) défaut (s) de ma solution?

Answer 1

Oui.$$\small\begin{align}\mathsf P(X=+1, Y\leq 0)&=\mathsf P(X=+1, N\leq -X)&&N:=Y-X\\&=\mathsf P(X=+1)\,\mathsf P(N\leq -X\mid X=+1)&&\text{Conditional Probability}\\&=\mathsf P(X=+1)\,\mathsf P(N\leq -1)&&\text{Independence}\\&=\dfrac 12\cdot\dfrac{(-1)-(-2)}{4}&&\text{pmf and CDF of given distributions}\\&=\dfrac{1}{8}&&\text{Algebra}\end{align}$$