Restriction d'une couverture ramifiée à son locus de ramification

Question

Supposons que nous ayons une surface lisse, compacte et complexe$X$, et un diviseur lisse et irréductible$B \subset X$. Laisser$G$être un groupe fini. Pour chaque épimorphisme de groupe$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G,$$d'après le théorème d'extension de Grauert-Remmert, il existe une surface complexe lisse$Y$et une couverture Galois$$f \colon Y \to X,$$avec le groupe Galois$G$et ramifié au plus sur$B$.

Depuis$B$est lisse, réglage$R =f^{-1}(B) \subset Y$on voit que la restriction$$f|_R \colon R \to B$$est une couverture galoisienne non ramifiée, avec le groupe galoisien$H=G/G_R$, où$G_R$est le stabilisateur de la courbe$R$. Une telle couverture galoisienne doit correspondre à son tour à un homomorphisme de groupe$$\psi \colon \pi_1(B) \to H,$$c'est surjectif si et seulement si$R$est irréductible.

Question. Comment peut-on retrouver, de façon purement algébrique, la carte$\psi$depuis$\varphi$et des homomorphismes (induits par les cartes d'inclusion)$$i_* \colon \pi_1(X-B) \to \pi_1(X), \quad j_* \colon \pi_1(B) \to \pi_1(X)?$$

Ici "de manière purement algébrique" signifie (par exemple) que, si j'ai implémenté les trois homomorphismes$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$,$i_*$et$j_*$dans un logiciel comme GAP4, il devrait y avoir, au moins en principe, une séquence finie de commandes fournissant$\psi \colon \pi_1(B) \to H$.

Je m'attends à ce que cela soit possible, puisque$\varphi$détermine complètement$f \colon Y \to X$, et détermine ainsi complètement la restriction$f|_R \colon R \to B$.

Answer 1

Il est utile de reformuler la question dans son cadre de topologie différentielle naturelle, en laissant de côté les considérations géométriques inutiles. Il est également naturel de considérer l'analogue du problème dans toutes ses dimensions.

Supposons donc qu'on nous donne un objet fermé, orientable, connexe, lisse$n$-collecteur$X$, et un fermé, orientable, connexe, lisse, codimension-$2$sous-variété$B \subset X$. Nous adoptons la notation de base utilisée dans la question. Laisser$G$être un groupe fini. Pour chaque épimorphisme de groupe$$\varphi \colon \pi_1(X-B) \to G$$il y a un fermé, orientable, connecté, lisse$n$-collecteur$Y$et une couverture ramifiée galoisienne (ou ``régulière'')$$f \colon Y \to X,$$avec groupe de transformation de pont$G$ramifié au plus sur$B$.

Depuis$B$est lisse, réglage$R =f^{-1}(B) \subset Y$on voit que la restriction$$f|_R \colon R \to B$$est une couverture non ramifiée. La question vise une description explicite de cette carte de couverture.

Parmi les problèmes qui se posent lorsqu'on essaie de donner une description aussi explicite, il y a le fait que$R$n'a pas besoin d'être connecté, que$f|_R:R \to B$n'a pas besoin d'être un revêtement de Galois, et que$B$et$X-B$ne peut pas avoir le même point de base.

La donnée supplémentaire nécessaire pour clarifier les choses est le faisceau normal de l'ensemble de branches et sa frontière, un faisceau circulaire sur$B$. Avec cette information supplémentaire, on peut répondre efficacement à la question. Nous allons de ce point de vue

• Caractériser quand$R$est connecté;
• Caractériser quand$f$est en fait ramifié ;
• Caractériser quand$R \to B$est Galois;
• Montrer que sur chaque composante de$R$la restriction du revêtement ramifié est en fait toujours un revêtement de Galois, avec un groupe de Galois explicite.

Laisser$N$dénotent un petit voisinage tubulaire de$B$dans$X$, qui a la structure d'un$2$-faisceaux de disques$B$. Laisser$D$désignent une fibre à 2 disques, de frontière$C = D \cap \partial N$, un cercle reliant à$B$. Puis$\partial N$est un paquet de cercle sur$B$, avec fibre typique$C$.

Ce fibré circulaire est déterminé par sa classe d'Euler dans$H^2(B;\mathbb{Z})$et détermine une séquence exacte de groupes d'homotopie (dans laquelle nous supprimons la mention des points de base requis)$$ 1 \to \pi_2(\partial N) \to \pi_2(B) \to \pi_1(C) \to \pi_1(\partial N) \to \pi_1(B)\to 1. $$L'image de$\pi_1(C)$dans$\pi_1(\partial N)$se trouve au centre en raison de notre hypothèse d'orientabilité. Le seul cas dans la gamme de dimensions$n\leq 4$que$\pi_2(B)\neq 1$est quand$n=4$et$B=S^2$. Dans tous les autres cas de faible dimension, il se réduit à une extension centrale de$\pi_1(B)$par$\mathbb{Z}$.

En général, l'affirmation selon laquelle$R$est connecté revient à exiger que$f^{-1}(\partial N)$être relié. Et cela se traduit par l'homomorphisme$$ \varphi j_*:\pi_1(\partial N) \to G $$étant surjectif, où$j:\partial N \to X-B$est l'inclusion.

La condition que la ramification réelle se produise se traduit par la condition que l'homomorphisme$$ \varphi i_*:\pi_1(C) \to G $$est non trivial, où$i:C \to X-B$est l'inclusion.

En général, l'image de$\varphi j_*:\pi_1(\partial N)\to G$donne le groupe de transformations de pont sur l'une quelconque des composantes de chemin de la pré-image du faisceau de cercles$\partial N$dans$Y$. Il en résulte que pour chaque composant$R_k$de la pré-image de l'ensemble de branches, la projection$R_k\to B$est un revêtement galoisien avec groupe de transformations de pont isomorphe à$$ \varphi j_*(\pi_1(\partial N))/ \varphi i_*(\pi_1(C)). $$

Les composants de$R$sont permutées transitivement par l'action de$G$sur$Y$. La ramification complète couvrant$R\to B$est l'application quotient de l'action de$G$limité à$R$. Le revêtement$R\to B$sera Galois si et seulement si l'image$\varphi i_*(\pi_1(C))$est un sous-groupe normal de$G$, auquel cas le groupe du revêtement est$G/ \varphi i_*(\pi_1(C))$.

Notons d'ailleurs que depuis l'image de$\pi_1(C)$est centrale dans$\pi_1(\partial N)$, il s'ensuit que s'il y a ramification non triviale et$G$a un centre trivial, alors la pré-image de l'ensemble de branches ne peut pas être connectée.

Answer 2

Voici une version algébrique de la réponse d'Allan Edmonds qui complète mon message d'origine (voir ci-dessous).

Laisser$\eta\in B$être le point générique, et soit$A$être l'anneau local complet de$\eta\in X$, alors$A$est un anneau d'évaluation discret complet ; laisser$\mathfrak{m}$soit son idéal maximal,$k = A/\mathfrak{m}$son champ de résidu (c'est-à-dire le champ de fonction de$B$), et$K$soit son corps de fraction. Depuis$R\rightarrow B$est étale et$B$est lisse irréductible,$R$est également lisse, donc ses composantes connexes ou irréductibles sont en bijection avec ses points génériques. Laisser$\epsilon\in R$être un point générique avec un point géométrique associé$\overline{\epsilon}$, et laissez$R_1\subset R$être le composant correspondant. Laisser$L$soit le champ de fraction de l'anneau local complet à$\epsilon$, alors$Gal(L/K) = G_\epsilon := Stab_G(\epsilon)$et le groupe d'inertie de$L/K$est$G_{\overline{\epsilon}} := Stab_G(\overline{\epsilon})$. Il s'ensuit que le$R_1/B$est Galois avec le groupe de Galois$G_\epsilon/G_{\overline{\epsilon}}$, qui est d'accord avec mon message d'origine (ci-dessous).

Par le théorème de la structure de Cohen, on peut identifier$K = k((t))$. L'analogue de la séquence exacte d'homotopie d'Allan Edmonds est alors la courte séquence exacte des groupes fondamentaux étales

$$1\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }\overline{k}((t)))\longrightarrow \pi_1(\text{Spec }k((t)))\longrightarrow\pi_1(\text{Spec }k)\longrightarrow 1$$(les points de base sont donnés par$\overline{k((t))}$), et depuis$k$contient toutes les racines de l'unité, c'est une extension centrale (ce qui rejoint l'observation d'Allan Edmond).

L'analogue des cartes d'Allan "$i_*$" et "$j_*$" peut être donné comme suit : Soit$K' = \overline{k}((t))$, alors nous avons des cartes

$$\text{Spec }K'\longrightarrow \text{Spec }K\longrightarrow X - B$$La carte induite$\pi_1(\text{Spec }K')\rightarrow \pi_1(X-B)$(avec pour point de base le point géométrique donné par$\overline{k((t))}$) est l'analogue d'Allan "$i_*$", et la carte$\pi_1(\text{Spec }K)\rightarrow \pi_1(X-B)$est l'analogue d'Allan's "$j_*$", et si$\varphi : \pi_1(X-B)\rightarrow G$désigne la représentation de monodromie, alors à nouveau nous avons que chaque composante de$R$est-ce que Galois est fini$B$avec le groupe Galois$$\varphi j_*\pi_1(\text{Spec }K)/\varphi i_*\pi_1(\text{Spec }K')$$En particulier le groupe de Galois de chaque composante de$R$est un sous-groupe du quotient du centralisateur d'un groupe d'inertie par ce groupe d'inertie.

COMMENCER LE POST ORIGINAL :

Ce n'est pas une réponse mais c'est trop long pour être un commentaire. On peut obtenir des restrictions sur la structure de$R\rightarrow B$comme suit:

En termes de correspondance de Galois, si$\pi := \pi_1(B)$,$r\in R$un point, et$F$la fibre de$R/B$contenant$r\in R$, alors$F$est en bijection avec$G/G_r$, et vous avez des actions de navettage de$\pi$et$G$sur$F$. L'image de$\pi$dans$Sym(F)$atterrit donc dans le centralisateur de la$G$-action. De plus, depuis le$G$-l'action commute avec le$\pi$-action,$G$agit (transitivement) sur$\pi$-orbites de$F$, et de plus si$G_{\pi\cdot r}$désigne le sous-groupe de$G$préserver l'orbite$\pi\cdot r$, alors$G_{\pi\cdot r}$agit transitivement sur$\pi\cdot r$, et puisqu'il commute aussi avec le$\pi$-action,$G_r$agit trivialement sur$\pi\cdot r$. Ainsi$G_r$est normal à l'intérieur$G_{\pi\cdot r}$, et les composants connexes de$R$sont tous isomorphes, chaque composante étant galoisienne sur$B$avec le groupe Galois$G_{\pi\cdot r}/G_r$, qui est naturellement un sous-groupe de$N_G(G_r)/G_r$où$N_G(G_r)$est le normalisateur de$G_r$dans$G$.

En particulier par exemple si$G$est simple et$G \ne G_r$alors$R$ne peut pas être connecté, donc par exemple$B$ne peut pas être suffisant (par les commentaires de Remy).

Je serais également très intéressé s'il y avait plus à dire à ce sujet.