Rigidité topologique de certaines surfaces non compactes
Problème $1$: Laisser$M$ être le collecteur non compact obtenu à partir de $\Bbb R^2$ enlever $n$-des points distincts de $\Bbb R^2$. Supposer$f:M\to M$ est une homotopie-équivalence, c'est-à-dire qu'il y a une carte $g:M\to M$ tel que les deux $f\circ g$ et $g\circ f$ sont homotopes à $\text{Id}_M$. Est-il vrai que$f:M\to M$ est homotope à un homéomorphisme de $\psi:M\to M$?
Motivation: une variété topologique fermée$X$est appelé topologique rigide si une équivalence d'homotopie$F : Y → X$ avec une variété $Y$ comme source et $X$comme cible est homotope à un homéomorphisme. Il est bien connu que toute équivalence d'homotopie de surfaces fermées se déforme en homéomorphisme. En outre, il existe des théorèmes de rigidité, comme le théorème de rigidité de Mostow, le théorème de Bieberbach, etc., mais ceux-ci traitent facilement des variétés fermées et dans certains cas des dimensions supérieures à$2$.
Réflexions: Ici, je considère la surface non compacte la plus élémentaire, à savoir le plan perforé$\Bbb R^2-0$. Notez que deux autocartes de$\Bbb R^2$ sont homotopes comme $\Bbb R^2$ est convexe, donc $\Bbb R^2$exclu. Maintenant, tout homéomorphisme est une carte appropriée, donc je dois trouver un invariant de carte propre qui est fixe ou totalement stable sous une homotopie ordinaire. Le seul fait que je connaisse est que l'ensemble des valeurs régulières d'une carte appropriée est ouvert et dense. Mais je suppose que ce n'est pas une propriété entièrement stable.
Ma deuxième pensée est d'utiliser la cohomologie supportée de manière compacte, nous pouvons également considérer la cohomologie de type de-Rham car nous avons suffisamment de cartes lisses pour l'approximation. Notez que$H^2_{\text{c}}(\Bbb R^2-0)=\Bbb R$et, nous pouvons considérer le degré d'une carte entre des groupes de chomologie supportés de manière compacte induite par une carte appropriée, et en vérifiant les degrés de deux cartes appropriées, nous pouvons dire qu'elles sont correctement homotopes ou non. Mais l'équivalence d'homotopie n'est pas nécessairement homotopique à une équivalence d'homotopie appropriée. Et, cette pensée me donne une autre question écrite ci-dessous.
Problème $2$: Est -ce tout bon équivalence auto-homotopie d'avion crevé correctement homotope à une auto-homéomorphisme d'avion crevé? Et si je remplace le terme «avion perforé» par$M$?
Ma troisième pensée est de construire une équivalence d'homotopie explicite d'un plan perforé non homotope à un homéomorphisme. Ici, je suis en train de construire une homotopie-équivalence$f:\Bbb R^2-0\longrightarrow \Bbb R^2-0$ avec $f(z)=z$ pour $1<|z|<2$ et $f$ est "assez mauvais" près de $0$ ou $\infty$de sorte qu'il est loin d'être homotopique à une carte appropriée. Peut-être que la propriété de fixation annulée n'est pas nécessaire, je considère simplement parce que pour induire un auto-isomorphsim de$\pi_1(\Bbb R^2-0)=\Bbb Z$.
Toute aide, commentaire, référence sera très apprécié. Merci d'avance.
Réponses
Le théorème de Dehn-Nielsen-Baer-Epstein vous donne une condition nécessaire et suffisante pour une équivalence d'homotopie $f : M \to M$être homotope à un homéomorphisme. Voici la déclaration.
Dans le rang $n$ groupe libre $\pi_1 M$, laisser $g_1,...,g_n$être la base libre représentée par des boucles faisant le tour des perforations respectives qui sont disjointes par paire sauf pour avoir un point de base commun. En organisant ces boucles de manière appropriée, l'élément$g_{n+1}=g_1...g_n$représente une boucle délimitant un disque contenant chacune des boucles données, c'est-à-dire une "boucle tournant autour de l'infini". Laisser$\mathcal D = \{D_1,...,D_{2n+2}\}$ dénotent l'ensemble des classes de conjugaison de $g_1^{\pm 1},...,g_{n+1}^{\pm 1}$ dans le groupe $\pi_1 M$, alors $D_1 = [g_1]$, $D_2 = [g_1^{-1}]$, etc.
Toute équivalence d'homotopie $f : M \to M$ induit une permutation de l'ensemble des classes de conjugaison de $\pi_1 M$. Le théorème de Dehn-Nielsen-Baer-Epstein dit que$f$ est homotope à un homéomorphisme si et seulement si l'isomorphisme induit $f_* : \pi_1 M \to \pi_1 M$ induit une permutation de l'ensemble $\mathcal D $.
Donc, dans le cas d'un avion perforé 2 $M$ par exemple, il existe une équivalence d'homotopie qui induit l'automorphisme de groupe libre défini par $g_1 \mapsto g_2$ et $g_2 \mapsto g_2 g_1$(l'existence de cette équivalence d'homotopie découle du fait facile que la sphère à 2 perforations est un espace d'Eilenberg-Maclane). Et nous avons$g_3 = g_1g_2 \mapsto g_2^2 g_1$. Vous pouvez voir immédiatement que$\mathcal D = \{[g_1],[g_1^{-1}],[g_2],[g_2^{-1}],[g_3],[g_3^{-1}]\}$n'est pas préservé. Cette équivalence d'homotopie n'est donc pas homotope à un homéomorphisme.
Enfin, il n'est pas trop difficile de voir qu'une équivalence d'homotopie appropriée doit en effet permuter $\mathcal D$ et il en est bien de même homotope à un homéomorphisme, par application du théorème de Dehn-Nielsen-Baer-Epstein (en fait il est proprement homotope).