Si $(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ sont continus et convergent vers $f$ point par point, doit $f$être Riemann Intégrable? [dupliquer]

Jan 01 2021

J'essaye de résoudre la question suivante

Vrai ou faux? Si$(f_n):[0, 1] \to [0, 1]$ est une suite de fonctions continues qui converge vers $f$ point par point, alors $f$ est Riemann intégrable et $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$

Avec l'aide des commentaires, j'ai trouvé ce contre - exemple, mais j'espère qu'il y en aura un plus simple.

Si nous remplaçons les intégrales de Riemann par des intégrales de Lebesgue, alors le résultat est vrai par le théorème de convergence dominée. Cela implique que si$f$ est Riemann Integrable, alors en effet $\int_0^1{f_n} \to \int_0^1f.$ Donc, en cherchant un contre-exemple, nous devrions essayer d'en trouver un où $f$ n'est pas intégrable par Riemann.

Merci beaucoup pour toute aide.

Réponses

3 Tuvasbien Jan 01 2021 at 06:30

Le contre-exemple classique est le suivant: $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$. Laisser$f_n(x)=\lim\limits_{m\rightarrow +\infty}\cos(n!\pi x)^{2m}$ (qui existe car c'est la limite d'une séquence décroissante positive), alors soit il existe $n_0$ tel que $f_{n_0}$ n'est pas Riemann-intégrable qui forme un contre-exemple car $x\mapsto\cos(n! \pi x)^{2m}$ est Riemann-intégrable pour tous $m$, soit le $f_n$ sont tous intégrables par Riemann, mais depuis $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ n'est pas intégrable par Riemann et $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}(x)=\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}f_n(x)$, alors ceci est un contre-exemple.