Si $\lambda = \sum k_i \alpha_i$ et $P_\lambda \subseteq \cup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ pour certains $\alpha \in \Phi$.
Ceci est un exercice 10.10 du livre de Humphreys sur les algèbres de Lie.
Laisser $\Phi$ être un système racinaire situé dans l'espace euclidien $E$ et laissez $\Delta = \{\alpha_1,\cdots,\alpha_\ell\}$ être une base pour $\Phi$. Laisser$\lambda = \sum_i k_i \alpha_i$ avec tout $k_i\geq 0$ ou tout $k_i\leq 0, k_i \in \mathbb Z.$ Prouvez que non plus $\lambda$ est un multiple (éventuellement 0) d'une racine, ou bien il existe $\sigma \in \mathscr W$ (Groupe Weyl) tel que $\sigma \lambda = \sum_i k_i'\alpha_i$ avec une certaine $k_i'>0$ et certaines $k_i'<0$.
Il donne le conseil suivant: Si $\lambda$ n'est pas un multiple d'une racine, alors l'hyperplan $P_\lambda$ orthogonal à $\lambda$ n'est pas inclus dans $\bigcup_{\alpha \in \Phi} P_\alpha$. Prendre$\mu \in P_\lambda \setminus \bigcup P_\alpha$ puis trouvez $\sigma \in \mathscr W$ pour lequel tout $(\alpha_i,\sigma\mu)>0$.
Je ne pouvais pas prouver que$P_\lambda \not \subseteq \bigcup P_\alpha$, bien que j'aie réussi à terminer l'exercice comme suit. Prendre un tel$\mu$, puisque chaque point de $E$ est $\mathscr W$-conugate à un point de la chambre fondamentale de Weyl, il existe $\sigma \in \mathscr W$ satisfaisant $(\sigma\mu, \alpha_i)>0$comme revendiqué. En particulier, chacun$\sigma \alpha_i \in \Phi$, donc nous pouvons écrire $\sigma\lambda = \sum k_i' \alpha_i$ pour certains entiers (éventuellement nouveaux) $k_i'$. Maintenant,$\mu \in P_\lambda$, donc
$$ 0 = (\mu,\lambda ) = (\sigma\mu, \sigma \lambda) = \sum k_i'(\sigma\mu,\alpha_i)$$ implique que certains $k_i'>0$ et certaines $k_i'<0$, comme les termes $(\sigma\mu ,\alpha_i)$ sont tous positifs.
La question est alors: comment prouver que$P_\lambda \not\subseteq \bigcup P_\alpha$? Tous les calculs que j'ai effectués jusqu'à présent étaient inutiles, des trucs comme$0 = (\lambda,x) = \sum k_i (\alpha_i,x)$ne peut rien impliquer. J'ai aussi essayé de commencer simplement avec $P_\lambda \subset P_\alpha \implies \lambda = c\alpha$ par supposig $\lambda - c\alpha\neq 0$ et $P_\lambda \subseteq P_\alpha$, mais ça ne fait que crier $P_\lambda \subseteq P_{\lambda - c\alpha}$.
De l'aide? Merci.
Réponses
Lemme : Si$H, H_1, ... H_r$ sont des hyperplans (ie $(n-1)$-sous-espaces dimensionnels) dans certains $n$-espace dimensionnel sur un champ infini, et $H \subseteq \bigcup_{i=1}^n H_i$, puis $H = H_j$ pour certains $1 \le j \le r$.
Preuve : Par hypothèse, nous avons
$$H = H \cap \left( \bigcup_{i=1}^r H_i \right) = \bigcup_{i=1}^r (H \cap H_i).$$
Maintenant, l'intersection de deux hyperplans a une dimension $n-2$sauf si les deux hyperplans sont égaux. Mais si tous les espaces de l'union sur le RHS sont$(n-2)$- dimensionnelle, leur union ne peut pas être la$(n-1)$-espace dimensionnel sur la LHS. QED.
Pour appliquer ceci à votre problème: Si $P_\lambda \subseteq \bigcup P_\alpha$, puis par le lemme il y a une racine $\alpha$ tel que $P_\lambda = P_\alpha$, par conséquent $\langle \lambda \rangle = P_\lambda^\perp = P_\alpha^\perp = \langle \alpha\rangle$, c'est à dire $\lambda$ est un multiple scalaire de $\alpha$.