Solution d'équation différentielle utilisant des coefficients indéterminés

Question

Résoudre l'équation différentielle $$y''+8y'+32y=8x^{3}e^{-4x}\sin(4x)$$ Utilisation de la méthode des coefficients indéterminés

Ce que j'ai essayé:

L'équation auxiliaire correspondant à cette équation est

$$r^2+8r+32=0\Longrightarrow r=\frac{-8\pm\sqrt{64-128}}{2}=\frac{-8\pm 8i}{2}=-4\pm 4i$$

Alors $$y_{c}=A_{1}e^{(-4+4i)x}+A_{2}e^{(-4-4i)x}=c_{1}e^{-4x}\cos(4x)+c_{2}e^{-4x}\sin(4x)$$

Mais je n'ai pas compris comment trouver une solution particulière en utilisant la méthode des coefficients indéterminés.

Aidez-moi, s'il vous plaît. Merci

Answer 1

Pour obtenir PI ,

Fais juste, $$\frac{8\cdot e^{(4i-4)x}\cdot x^{3}}{D^{2}+8D+32} $$ $$=\frac{8\cdot e^{(4i-4)x}\cdot x^{3}}{(D+4)^{2}+16} $$ $$=8\cdot e^{(4i-4)x} \frac{x^{3}}{(D+4i-4+4)^{2}+16} $$ $$=8\cdot e^{(4i-4)x} \frac{x^{3}}{D^{2}+8Di} $$ $$=(-i)\cdot e^{(4i-4)x} (\frac{1}{D}-\frac{1}{8i}+\frac{D}{(8i)^{2}}-\frac{D^2}{(8i)^3}+\frac{D^3}{(8i)^4}-\frac{D^4}{(8i)^5}+\cdot\cdot\cdot)\cdot x^{3} $$ $$=(-i)\cdot e^{(4i-4)x} (\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{8i}+\frac{3x^2}{(8i)^{2}}-\frac{6x}{(8i)^3}+\frac{6}{(8i)^4}) $$Je pense que vous l'obtiendrez d'ici ,,, pour le PI , prenez simplement la partie imaginaire.

Answer 2

Ensemble $$ y_p=(C_1x+C_2x^2+C_3x^3+C_4x^4)e^{-4x}\cos(4x)+(D_1x+D_2x^2+D_3x^3+D_4x^4)e^{-4x}\sin(4x). $$