Solution ODE étrange: comment vérifier qu'il s'agit bien d'une solution?

Question

J'essaierai d'exprimer ma question à l'aide d'un exemple.

Considérez cette ODE homogène: $y' = \frac{y-x}{x+y }$

Sa solution est: $\boxed{\frac12 \log\left( \frac{y^2(x)}{x^2} +1\right) - \log(x) + \arctan\left( \frac{y(x)}{x}\right) = c} \quad c\in \mathbb{R}$

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Autant que je sache, résoudre une équation différentielle signifie trouver un $y(x)$ qui satisfait l'équation différentielle.

Mais cette solution particulière ne peut être exprimée en termes de $y(x)$ (au moins je ne peux pas) .

• Si l'argument précédent est vrai, comment pourrait-on vérifier la solution, étant donné qu'il n'y a pas $y$ brancher sur l'ODE?
• Si l'argument précédent est faux, comment la solution pourrait-elle être exprimée en termes de $y$?

PS: Une question précédente que j'ai posée est comment faire$\arctan$ et $\ln$rapporter? . Étant donné que la solution ne contient que ces deux fonctions, je soupçonne qu'il peut être utile de le noter. Pourrait-il y avoir une analyse complexe impliquée?

Answer 1

$$y' = \frac{y-x}{x+y }$$ $$(x+y)dy+(x-y)dx=0$$ $$xdy-ydx+\dfrac 12d(x^2+y^2)=0$$ $$\dfrac {xdy-ydx}{x^2+y^2} +\dfrac 12\dfrac {d(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=0$$ L'intégration donne: $$2\arctan (y/x)+ \ln (x^2+y^2)=C$$Vous pouvez également différencier la solution. Je veux dire une différenciation implicite. Et vous pouvez également simplifier le$\log$fonction dans la solution donnée. Cela devrait simplement être$\dfrac 12 \log (x^2+y^2)$.

Answer 2

Utilisez la substitution $y = xv$

$$v+xv' = \frac{x(v-1)}{x(v+1)} \implies xv' = -\frac{v^2+1}{v+1}$$

qui est séparable

$$\int\frac{v}{v^2+1} + \frac{1}{v^2+1} \:dv = -\int\frac{dx}{x} \implies \frac{1}{2}\log\left(v^2+1\right)+ \tan^{-1}v = -\log|x| + C$$

ce qui signifie que la solution peut être donnée comme

$$\frac{1}{2}\log\left(x^2v^2+x^2\right) + \tan^{-1}v = C \implies \log(y^2+x^2) + 2 \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = C$$