Somme de l'espace vectoriel

Question

La question sur laquelle je travaille est la suivante:

Supposer $U_1$ et $U_2$ être des sous-espaces d'un espace vectoriel $V$. Montre CA$U_1+U_2$ égale l'intersection de tous les sous-espaces de $V$ cela comprend $U_1 \cup U_2$.

Ma tentative:

Laisser $K = \bigcap_{i = 0}V_i$ être l'intersection de tous les sous-espaces tels que $U_1$ $\cup$ $U_2$ $\subseteq V_i$ pour tous $i$. Laisser$U = U_1+U_2 = \{x + y \in V : x \in U_1, y \in U_2\}$. Il faut montrer que$U \subseteq K$ et $K \subseteq U$.

Puisque l'intersection de tous les sous-espaces entraîne un autre sous-espace, nous savons que K est un sous-espace. Puisque les sous-espaces sont fermés par addition, nous avons cela pour$x,y$ dans $K$, $x+y\in K$. Location$x$ et $y$ être des éléments de $U_1 \cup U_2$, il est clair que $U \subseteq K$.

L'envergure d'un ensemble $S$ est l'intersection de tous les sous-espaces d'un espace vectoriel $V$ qui contiennent $S$. Par conséquent$K = \operatorname{span}(U_1 \cup U_2)$. Donc, des éléments de$K$ peut être écrit sous forme de combinaisons linéaires de $U_1 \cup U_2$. Depuis$U$ peut également être représenté sous forme de combinaisons linéaires de $U_1 \cup U_2$ il s'ensuit que $K \subseteq U$.

Cela me semblait un peu trop facile, alors je pense que j'ai raté quelque chose d'important. Toute aide ici serait formidable.

Answer 1

C'est vraiment aussi simple! Supposons que vous ayez un sous-espace$W$ de $V$ tel que $U_1\cup U_2\subseteq W$. Ensuite, nous avons, pour tout$u_1\in U_1, u_2\in U_2$, $u_1+u_2\in W$ car $W$est un sous-espace. Donc,$U_1+U_2\subseteq W$. Comme$W$ était arbitraire, nous savons que cette inclusion vaut pour tous ces sous-espaces, et donc vaut pour leur inclusion nous donnant $U_1+U_2\subseteq \bigcap_{U_1\cup U_2\subseteq W}W$. D'autre part,$U_1+U_2$ est lui-même un sous-espace de $V$ contenant $U_1\cup U_2$ ce qui donne l'inclusion inverse.