Sur la construction des systèmes numériques

Question

Récemment, j'ai lu quelque chose sur la façon dont la théorie des ensembles est utilisée pour construire les systèmes de nombres (en commençant par $\mathbb{N}$ et construire les décors $\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}.$)

Je voudrais en savoir plus à ce sujet et pour cela j'ai deux questions.

1. Quel est le bagage mathématique nécessaire pour commencer à étudier cette matière? Et quels livres recommandez-vous au préalable?

2. Après avoir eu quelques bonnes notions sur les préliminaires, pouvez-vous me signaler un très bon livre sur la construction de systèmes de nombres?

Bref, quel chemin dois-je suivre pour bien comprendre ce sujet?

Toute suggestion est la bienvenue!

Merci pour votre attention!

Answer 1

La seule condition préalable est la proverbiale «maturité mathématique». Pour être un peu plus précis, vous devez être à l'aise avec les bases de la théorie des ensembles naïve. Juste pour citer quelques exemples:

• Relations sous forme d'ensembles de paires ordonnées.
• Preuve par induction.
• Le lien entre les relations d'équivalence et les partitions.
• Comment une fonction surjective $A\rightarrow B$ est "essentiellement identique" à une relation d'équivalence sur $A$.

Ce n'est pas une liste exhaustive.

Il y a un livre célèbre qui couvre la construction de $\mathbb{R}$ de $\mathbb{N}$: Fondements de l'analyse de Landau . Il est écrit dans un style sévère de définition-théorème-preuve que les gens admiraient. Personnellement, je ne le recommande pas aux débutants.

Pour une source plus conviviale, je recommande les éléments de la théorie des ensembles d' Enderton . Cela couvre le matériel préliminaire dont vous avez besoin, avant de construire les nombres naturels dans le chapitre 4 et les entiers, les rationnels et les réels dans le chapitre 5. (Vous pouvez probablement trouver un pdf gratuit de tout le livre en ligne, mais avec un coup d'œil rapide, j'ai trouvé seulement le chapitre 5. )

Je devrais également mentionner l'article original de Dedekind, "Stetigkeit und irrationnel Zahlen" ("" Continuity and Irrational Numbers "), donnant sa construction de $\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$. Dedekind est un écrivain remarquablement clair. Bien sûr, sa notation est obsolète par endroits, même si quand je l'ai lue (il y a de nombreuses années), je ne me souviens pas que cela ait causé le hoquet. Cependant, à la recherche d'une copie en ligne (disponible sur Project Gutenberg ), j'ai parcouru cet article: Un examen de Richard Dedekind "Continuity and Irrational Numbers" , Rose-Hulman Undergraduate Mathematics Journal , par Chase Crosby.

Encore une autre source d'un très bon écrivain: l'épilogue de Spivak's Calculus . Il donne trois constructions des nombres réels, à savoir les coupes de Dedekind, les séquences fondamentales de Cantor et les décimales infinies. Les deux seconds sont présentés comme des exercices avec des conseils détaillés. Il montre également le caractère unique essentiel des nombres réels.

Trois remarques supplémentaires: (1) La théorie des catégories jette un éclairage nouveau sur certains de ces éléments, en particulier sur ce que signifie «essentiellement la même chose». (2) La construction de$\mathbb{N}$comme les ordinaux de von Neumann peuvent sembler assez artificiels. Ce qui importe vraiment est pas ce nombre naturel sont , mais les axiomes qu'ils obéissent. (3) Cela vaut également pour les étapes ultérieures de la construction. Plus précisément, il existe deux constructions célèbres de$\mathbb{R}$ de $\mathbb{Q}$: Dedekind coupe et séquences fondamentales de Cantor. Ils ont l'air assez différents, mais vous vous retrouvez avec des structures isomorphes.