Sur la régularité des équations hyperboliques
Dans ma classe PDE, nous suivons le livre d'Evans PDE, nous lisions sur la régularité des solutions faibles pour les équations hyperboliques, plus spécifique dans la section 7.2.3 du théorème de preuve 5., L'auteur déclare que nous avons
\ begin {équation} \ frac {d} {dt} (\ | \ tilde {u} _m ^ {'} \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2 + A [\ tilde {u} _m, \ tilde {u} _m]) \ leq C (\ | \ tilde {u} _m ^ {'} \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2 + A [\ tilde {u} _m, \ tilde {u } _m] + \ | f ^ {'} \ | _ {L ^ {2} (U)} ^ 2) \ end {équation} où$\tilde{u}_m=u_m^{'}$, aussi l'estimation \ begin {équation} \ | u_m \ | _ {H ^ 2 (U)} ^ 2 \ leq C (\ | f \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2 + \ | u_m ^ {''} \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2+ \ | u_m \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2) \ end {equation} Evans dit que l'utilisation de cette dernière inégalité dans la première et en appliquant l'inégalité de Gronwall, nous en déduisons que \ begin {équation} \ sup_ {0 \ leq t \ leq T} (\ | u_m (t) \ | _ {H ^ 2 (U)} ^ 2+ \ | u_m ^ {' } (t) \ | _ {H ^ 1 (U)} ^ 2+ \ | u_m ^ {''} (t) \ | _ {L ^ 2 (U)} ^ 2) \ leq C (\ | f \ | _ {H ^ 1 (0, T; L ^ 2 (U))} ^ 2+ \ | g \ | _ {H ^ 2 (U)} ^ 2+ \ | h \ | _ {H ^ 1 (U)} ^ 2) \ end {equation} Mon problème est que je ne comprends pas comment cette dernière expression est obtenue, quelqu'un peut-il m'aider?
Edit: Nous recherchons la régularité des solutions faibles de la PDE \ begin {équation} \ begin {array} [rcl] fu_ {tt} + Lu & = f & \ text {in} U_ {T}, \\ & u = 0 & \ text {in} \ partial U \ times [0, T], \\ & u (0) = g & \ text {in} U \ times \ {t = 0 \} \\ & u ^ {'} (0) = h & \ text {in} U \ times \ {t = 0 \} \\ \ end {array} \ end {equation} nous savons que si$f\in L^2(0,T;L^(U))$, $g\in H_0^1(U)$ et $h\in L^2(U)$ il existe une solution faible de cette PDE, pour la régularité nous supposons que $f,g$ et $h$ sont dans leurs espaces respectivement et de plus $f^{'}\in L^2(0,T;L^2)$, $g\in H^2(U)$ et $h\in H_0^1(U)$. J'espère que cela clarifiera ma question.
Réponses
Je laisse tomber l'indice $m$ qui est utilisé pour indiquer des solutions approximatives.
La première inégalité (avec la dérivée du temps à gauche) vient de la considération du pde qui est satisfait par $\tilde u = u'$et en appliquant l'estimation d'énergie habituelle. Appliquez ici un argument Gronwall pour obtenir une estimation$$ \sup_t \left(\|\tilde u'(t)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(t), \tilde u(t)) \right) \\ \quad \le C\left( \|\tilde u'(0)\|^2_{L^2} + A(\tilde u(0), \tilde u(0)) + \int_0^T \|f'\|^2_{L^2} \right) $$ Vous avez lu le pde pour $\tilde u$ quoi $\tilde u(0)$ et $\tilde u'(0)$doit être. Cela implique des estimations pour$$ \sup_t \left(\| u_{tt}(t)\|_{L^2} + \| u_t(t)\|_{H^1} \right) $$ depuis la forme $A$ est (essentiellement) coercitive.
La seconde inégalité découle de la pde elle-même plus la théorie de la régularité elliptique pour l'opérateur $L$. Ecrivez$Lu = -u_{tt} + f$ et utilisez une estimation comme $$ \|u\|_{H^2} \le C(\|Lu\|_{L^2} + \|u\|_{L^2}) $$ qui apparaît sûrement dans un chapitre antérieur du livre.
Puisque vous avez déjà une estimation pour $\|u_{tt}\|_{L^2}$, l'estimation souhaitée peut maintenant être dérivée. Gardez simplement une trace des normes de$g$ et $h$ entrez les estimations.