Théorème bipolaire

Question

Je me suis retrouvé coincé avec le problème suivant en parcourant la preuve du lemme$1.9$(i) du livre 'Lectures on von Neumann Algebras' de Strătilă et Zsidó.

Laisser$\mathscr{B}$être un espace de Banach et$\mathscr{B}^*$être le duel de$\mathscr{B}$. Laisser$\mathscr{B}_*\subseteq \mathscr{B}^*$un sous-espace vectoriel de norme fermée tel que$\mathscr{B}=(\mathscr{B}_*)^*$(c'est-à-dire isométriquement isomorphe) par la forme bilinéaire canonique sur$\mathscr{B}\times \mathscr{B}_*$. Prendre en compte$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-topologie sur$\mathscr{B}$qui est défini par la famille des semi-normes$\{p_{\varphi}:\varphi\in \mathscr{B}_*\}$, où$p_{\varphi}(x):=|\varphi (x)|$pour$x\in \mathscr{B}$. Laisser$\mathscr{M}\subseteq \mathscr{B}$être un$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-sous-espace vectoriel fermé.

Problème : Si$\mathscr{M}^{\circ}:=\{\varphi \in \mathscr{B}_*;\varphi |_{\mathscr{M}}=0\}$, puis prouver que$\mathscr{M}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}$.

Les auteurs appellent$\mathscr{M}^{\circ}$la polaire de$\mathscr{M}$et dit ensuite que la conclusion découle du théorème bipolaire. Mais je n'ai trouvé aucune référence pour ce "théorème bipolaire". Quelqu'un pourrait-il donc m'aider avec une référence appropriée pour ce «théorème bipolaire» avec la solution. Merci d'avance.

Answer 1

Laisser$$ \mathscr{M}^{oo}=\{x\in\mathscr{B};\varphi (x)=0 \text{ for any } \varphi\in\mathscr{M}^{\circ}\}. $$Nous avons$\mathscr M\subset \mathscr M^{oo}$par définition de$\mathscr M^o$. Supposons qu'il existe$z\in \mathscr M^{oo}\setminus \mathscr M$. Comme$\mathscr M$est convexe et$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-fermé, par Hahn-Banach il existe$\varphi$, linéaire et$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-continu, avec$\varphi(z)=1$et$\varphi|_{\mathscr M}=0$. le$\sigma (\mathscr{B};\mathscr{B}_*)$-les fonctionnelles continues sur le dual de l'espace localement compact sont précisément celles du prédual (voir, par exemple, le théorème V.1.3 dans Conway's A Course in Functional Analysis ) ; alors$\varphi\in\mathscr B_*$. Puis$\varphi\in\mathscr M^o$; comme$z\in\mathscr M^{oo}$, nous aurions$\varphi(z)=0$, une contradiction. Alors$\mathscr M^{oo}=\mathscr M$.