Transformations de Möbius d'ordre fini
J'ai vu cette question , qui a soulevé la question: peut-on classer toutes les transformations de Möbius (à coefficients complexes) d'ordre fini? En particulier, s'agit-il uniquement des rotations? J'ai le sentiment que la manipulation symbolique n'est pas la façon de procéder - et en fait n'a pas abouti à cela - et j'apprécierais un aperçu.
Réponses
Toute transformation de Möbius qui n'est pas l'identité est conjuguée non plus à une traduction $$ z \to z + a \, \quad (a \in \Bbb C, a \ne 0) $$ ou une carte linéaire complexe (rotation / dilatation) $$ z \to \lambda z \, \quad (\lambda \in \Bbb C, \lambda \ne 0, 1) $$selon qu'il comporte un ou deux points fixes. Les traductions n'ont pas d'ordre fini, et les rotations si et seulement si$\lambda$ est une racine d'unité.
Il s'ensuit que toutes les transformations de Möbius d'ordre fini sont de la forme $$ T(z) = S^{-1}(\lambda S(z)) $$ avec une transformation de Möbius $S$ et $\lambda = e^{2 \pi i k/n} \ne 1$ pour certains entiers $k, n$.
Penser le groupe de transformations Mobius comme le groupe linéaire projectif $PGL_2(\mathbb{C})$, nous pouvons argumenter comme suit. Une matrice$X \in GL_2(\mathbb{C})$ a la propriété que son image $PGL_2(\mathbb{C})$ a un ordre fini ssi $X^n = \lambda I$ pour certains scalaires $\lambda$. Car$\mathbb{C}$ est algébriquement clos (je le mentionne explicitement pour montrer qu'il ne se généralise pas à des champs plus généraux) $n^{th}$ racine $\sqrt[n]{\lambda}$ existe et nous pouvons redimensionner $X$ par elle, nous pouvons donc supposer que WLOG $X^n = I$; c'est-à-dire que$X$lui-même a un ordre fini. Il suffit donc de classer ces matrices.
Exercice: Une matrice d'ordre fini est diagonalisable. Plus généralement, une matrice satisfaisant un polynôme$f(X) = 0$ sans racines répétées est diagonalisable.
Maintenant, les choses sont très simples: une matrice diagonalisable satisfait $X^n = I$ ssi ses valeurs propres sont $n^{th}$ racines d'unité, et cela se généralise à tous $GL_d(\mathbb{C})$. Alors$X$ doit être conjugué à une matrice diagonale avec des entrées diagonales $\zeta_n^i, \zeta_n^j$ ($\zeta_n$ un primitif $n^{th}$ racine de l'unité), ce qui signifie que la transformation Mobius correspondante est conjuguée à
$$z \mapsto \frac{\zeta_n^i z}{\zeta_n^j} = \zeta_n^{i-j} z.$$
Dans le cas particulier de $PGL_2(\mathbb{C})$on peut en dire plus: il est en fait possible de classer complètement les sous-groupes finis des transformations de Mobius (ici nous classons les groupes cycliques finis). Cette classification s'avère identique à la classification des sous-groupes finis de$SO(3)$: outre les groupes cyclique et dièdre, il existe trois groupes "exceptionnels" correspondant aux symétries des solides platoniques, à savoir le groupe tétraédrique $A_4$, le groupe octaédrique $S_4$et le groupe icosaédrique $A_5$.