Trois desperados

Question

Trois desperados A, B et C jouent à la roulette russe dans laquelle ils appuient à tour de rôle sur la détente d'un revolver à six cylindres chargé d'une balle. Chaque fois que le chargeur est tourné pour sélectionner au hasard un nouveau cylindre à tirer tant que le tir mortel n'est pas tombé. Les desperados tirent selon l'ordre A, B, C, A, B, C,. . .. Déterminez pour chacun des trois desperados la probabilité que ce desperado soit celui qui se suicidera.

Je dois calculer la probabilité que A meurt à $i$e procès, donc B et C ne meurent jamais. Si à$1$e procès personne ne meurt que nous avons $(\frac{5}{6})^3$. Si à$i$e procès personne ne meurt, nous devrions avoir $(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$, car

$\mathbb{P}(A)=\mathbb{P}[(A\cap B_1)\cup...\cup(A\cap B_k)]=\mathbb{P}(A\cap B_1)+...+\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(A\cap B_k)=\sum_{k=0}^{\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A|B_k)$

et depuis $A\perp B_k\Rightarrow \mathbb{P}(A)=\sum_{k=0}^{+\infty}\mathbb{P}(B_k)\mathbb{P}(A)=(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}+...+(\frac{5}{6})^2\frac{5}{6}=(\frac{5}{6})^3+...+(\frac{5}{6})^3=k(\frac{5}{6})^3$

où $A=[$A pas mourir$]$. Ainsi A devrait mourir à$i+1$e essai avec probabilité $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}k(\frac{5}{6})^3$.

Malheureusement, le résultat est $\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{5}{6})^{3k}$. Pourquoi?

Answer 1

Votre notation complique excessivement le problème. La probabilité que l'arme tire d'abord sur le$i$-th tirant sur la détente est $(5/6)^{i- 1}\cdot(1/6)$... c'est-à-dire la probabilité que le premier $i-1$ les pressions sur la gâchette ne tirent pas et $i$-th on fait. $A$ meurt si cela se produit au premier, au quatrième, au septième, etc .... en appuyant sur la gâchette: si $i=3k+1$ pour certains naturels $k$. Donc$$ P(A)=\frac{1}{6}\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{5}{6}\right)^{3k}=\frac{36}{91}. $$ Par souci d'exhaustivité, puisque $B$ et $C$ exiger $i=3k+2$ et $i=3k+3$ respectivement, $$ P(B)=\frac{5}{6}P(A)=\frac{30}{91} $$ et $$ P(C)=\frac{25}{36}P(A)=\frac{25}{91}. $$

Answer 2

Vous pouvez résoudre ce problème sans sommation de série sophistiquée. Tu le sais:

$$ P(A) = \frac{1}{6} + \frac{5}{6} P(C)$$

Une fois sur six, $A$perdra tout de suite. Dans l'autre$\frac{5}{6}$ des cas, $A$ sera dans la même situation $C$ est au début du jeu.

Ensuite, vous avez:

$$P(B) = \frac{5}{6} P(A)$$

Si A ne perd pas au début, $B$ perdra avec probabilité $P(A)$.

Bien sûr, vous avez également:

$$P(A) + P(B) + P(C) = 1 \; ,$$

puisque quelqu'un doit perdre. Vous avez 3 équations et 3 inconnues.