Type d'équation wronskien

Question

Je suis en train de passer en revue quelques vieilles notes sur le système dynamique et suis tombé sur un résultat qui me rappelle l'équation wronskienne sauf qu'ici nous avons affaire à une équation non linéaire:

Laisser $\phi(t;{\bf x})$ être une solution à l'équation $\dot{{\bf x}}(t)= f(t,{\bf x}(t))$, avec $\phi(0;{\bf x})={\bf x}$. Définir la fonction$W$ par $$ \begin{align} W(t,{\bf x})&=\det\left[\frac{\partial \phi}{\partial {\bf x}}(t;{\bf x})\right]. \end{align} $$ Ensuite, $W$ satisfait l'équation différentielle $$ \dot{W}(t)=W(t)\, (\nabla_{\bf x}\cdot f)(t,\phi(t;\mathbf{x})); \qquad W(0)=1, $$ où $\left(\nabla_{\bf x}\cdot f\right)(t,\phi(t;{\bf x})) =\sum_{j=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_j}(t,\phi(t;{\bf x}))$

J'essaye de prouver ce résultat mais je suis complètement en désaccord. Tout indice ou esquisse d'une solution sera apprécié.

Answer 1

Permettez-moi d'abord d'énoncer le lemme auxiliaire élémentaire suivant de l'algèbre linéaire

Lemme: Let$\Delta:\mathbb{R}^{n^2}\longrightarrow\mathbb{R}$ être la fonction déterminante, c'est-à-dire $$\Delta(\alpha_{11},\ldots,\alpha_{n1},\ldots,\alpha_{1n}, \ldots,\alpha_{nn})^{\top} = \det[(\alpha_{ij})]$$ où $(\alpha_{ij})$ est le $n\times n$- matrice dont $ij$--th composant est $\alpha_{ij}$. Ensuite,$$\Delta_\alpha= \frac{\partial \Delta}{\partial\alpha}= (W_{11}\ldots,W_{n1},\ldots,W_{1n},\ldots,W_{nn})$$ où $W_{ij}$ est le $ij$--ème cofacteur de la matrice $(\alpha_{ij})$.

La preuve de ce lemme est un exercice simple sur le calcul des déterminants en utilisant la formule du cofacteur.

---

Voici une preuve de l'énoncé de l'OP:

Compte tenu de la solution $\phi(t;{\bf x})=(\phi^1(t;{\bf x}),\ldots,\phi^n(t;{\bf x}))^\top$ au problème de la valeur initiale $$ \dot{\mathbf{y}}(t)=f(t,\mathbf{y}(t)),\qquad \mathbf{y}(0)=\mathbf{x}$$ nous utilisons la notation $\phi^{i}_{x_j}(t;\mathbf{x})= \frac{\partial\phi^i}{\partial x_j}(t;\mathbf{x})$. En utilisant le lemme auxiliaire ci-dessus avec la règle de chaîne, nous obtenons$$ \begin{align} \dot{W}&= \sum_i W_{i1}\dot{\phi}^{i}_{x_1} +\cdots+ \sum_i W_{in}\dot{\phi}^{i}_{x_n}\\ &=\sum_{ij} W_{ij}\dot{\phi}^{i}_{x_j} \tag{1}\label{chain} \end{align} $$ où $W_{ij}$ est le $ij$--ème cofacteur de la matrice $\left(\phi^i_{x_j}\right)$. Il est facile de savoir que$\phi_{\bf x}(t;{\bf x})=\frac{\partial\phi}{\partial {\bf x}}(t;{\bf x})$ satisfait l'équation variationnelle $$\begin{align} \begin{matrix} \dot{\phi}_{\bf x}(t;{\bf x})&=&f_{\bf{x}}(t,\phi(t;{\bf{x}}))\phi_{\bf x}(t;{\bf x})\\ \phi_{\bf x}(0;{\bf x})&=&I \end{matrix} \tag{2}\label{vareq} \end{align} $$ En substituant \ eqref {vareq} dans \ eqref {chain} et en rappelant le fait que le déterminant d'une matrice qui a deux colonnes identiques est nul, on obtient $$ \begin{align} \dot{W}(t)&=\sum_{ijk} W_{ij}(t) f^i_{x_k}(t,\phi(t;{\bf x}))\phi^k_{x_j}(t;{\bf x})\\ &= \sum_{ki} \left(f^i_{x_k}(t,\phi(t;{\bf x})\right) \sum_j W_{ij}(t)\phi^k_{x_j}(t;{\bf x})\\ &=\sum_i f^i_{x_i}(t,\phi(t;{\bf x}) \sum_j W_{ij}(t)\phi^i_{x_j}(t;{\bf x})\\ &= \sum_i f^i_{x_i}(t,\phi(t;{\bf x})) W(t) = W(t)\,\left(\nabla_{\bf x}\cdot f\right)(t,\phi(t;{\bf x})) \end{align} $$

---

Commentaires:

1. La déclaration de l'OP a l'équation wronskienne pour linéaire comme cas particulier. En effet, pour un système linéaire non autonome$$ \dot{x}=A(t) x\quad x(0)=x_0, $$ où $A(t)\in L(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ est continuellement différenciable en $t$, $f(t,\mathbf{x})=A(t)\mathbf{x}$ et donc, $(\nabla_x\cdot f)(t,\mathbf{x})=\operatorname{Tr}(A(t))$ où $\operatorname{Tr}(A(t))= \sum_j a_{jj}(t)$, la trace de $A(t)$. ensuite$W$ satisfait $$ \dot{W}=\operatorname{Tr}(A(t))\, W $$ et donc, $$ W(t)=W(0) \exp\Big(\int^t_0\operatorname{Tr}(A(s))\,ds\Big) $$
2. L'énoncé peut être utilisé pour prouver le théorème de Liouville. Le théorème d'unicité des solutions au problème de la valeur initiale$$ \begin{align} \dot{y}=f(t, y),\quad y(s)=x\tag{3}\label{three} \end{align} $$ montre que les solutions pour $\eqref{three}$satisfaire la propriété de flux suivante : Si$\phi_{t,s}(y)=\phi(t;s,y)$ désigne la solution dans $t$ conditions initiales $\phi(s;s,y)=y$, puis

une. $\phi_{t,s}\circ\phi_{s,r}(y)=\phi_{t,r}(y)$ pour tous $r,\,s,\,t\in I$ et $y\in \Omega$.

b. $\phi_{t,t}(y)=y$ pour tous $t\in I$ et $y\in\Omega$.

Pour simplifier, nous supposons que toute solution commençant par $\Omega$ existe pour tous les temps, c'est-à-dire $I=\mathbb{R}$. Supposer que$D(0)\subset\Omega$ a un volume fini $v(0)$ dans $\mathbb{R}^n$; puis, le flux$\phi_{0,t}$ les transports $D(0)$ à $D(t)=\phi_{t,0}(D(0))$. Un problème intéressant est de comprendre comment le volume$v(t)=\operatorname{vol}(D(t))$ évolue avec $\phi_{t,0}$.

$v(t)$ satisfait l'équation $$\begin{align} \begin{matrix} \dot{v}(t)&=& \int\limits_{D(0)}(\nabla_y\cdot f)(t,\phi(t;0,y)) \det\left[\frac{\partial\phi}{\partial y}(t;0,y)\right] dy\\ &=&\int\limits_{D(t)}\nabla_y\cdot f(t,y) dy \end{matrix} \tag{4}\label{liouvfor} \end{align} $$Pour voir cela, appliquez la formule de changement des variables pour l'intégration,
pour obtenir$$ \begin{align} \begin{matrix} v(t)&=&\int_{D(t)} dy=\int_{\phi_{t,0}D(0))} dy\\ &=& \int_{D(0)} \left|\det\left[\frac{\partial \phi_{t,0}}{\partial y}(y)\right]\right| dy \end{matrix}\tag{5}\label{multchange} \end{align} $$ Depuis $\phi_{t,0}(\cdot)$ est une famille de difféomorphismes et $\phi_{0,0}=Id$, nous pouvons ignorer la valeur absolue dans \ eqref {multchange}. Différencier par rapport à$t$ donne $$ \dot{v}(t)= \int_{D(0)} \frac{d}{dt} \det\left[\frac{\partial \phi_{t,0}}{\partial y}(y)\right] dy $$ La conclusion découle alors de l'énoncé du PO avec une autre application de la formule de changement de variables.