Une décomposition de la représentation minimale de Stinespring

Question

La question est issue d'un exercice du livre de Paulsen «Cartes complètement délimitées et algèbres d'opérateurs» (P115 Exercices 8.2).

Laisser $A$ être une algèbre C * avec unité, $H$ être un espace Hilbert et laisser $\Phi: M_2(A)\rightarrow B(H\oplus H)$être une carte complètement positive. Ensuite, nous avons une représentation Stinespring minimale$(\pi_1, V, K_1)$ pour $\Phi$. Prouvez l'espace Hilbert$K_1$ peut être décomposé en $K_1=K\oplus K$ de telle manière que l'homomorphisme * - $\pi_1:M_2(A)\rightarrow B(K\oplus K)$ a la forme $$\pi_1\left[\left[ \begin{array}{ccc} a & b \\ c & d\\ \end{array}\right]\right]=\left[ \begin{array}{ccc} \pi(a) & \pi(b) \\ \pi(c) & \pi(d)\\ \end{array}\right],$$ où $\pi: A\rightarrow B(K)$ est un homomorphisme unital *.

Ma tentative: Dans cet exercice, je ne sais pas comment construire l'espace de Hilbert $K$ tel que $K_1=K\oplus K$. Parce que la représentation Stinespring est minimale (ie$\overline{\pi_1(M_2(A))V(H\oplus H)}=K_1$), J'imagine $K=\overline{\pi_1(M_2(A))V(H\oplus{0})}\cong \overline{\pi_1(M_2(A))V(0\oplus H)}$. Cependant, je ne suis pas sûr que ce soit vrai.

Answer 1

Votre approche semble a priori une bonne idée, mais elle ne peut pas fonctionner car vous n’avez aucun contrôle sur $V$.

Au lieu de cela, vous avez cela $\pi_1(A)$n'est pas dégénéré par la condition de minimalité. Cela implique que$\pi_1(1)=1$(car c'est une projection avec un noyau trivial). Maintenant, laisse$$ K=\pi(a)=\pi_1\left(\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\right)\,K_1. $$ ensuite $$ K_1=K\oplus\pi_1\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right)K\simeq K\oplus K.$$

Définir

$$\pi(a)=\pi_1\left(\begin{bmatrix}a&0\\0&0\end{bmatrix}\right).$$ Puis, en écrivant $U=\pi_1\left(\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}\right)$, \begin{align} \pi_1\left(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\right) &=\pi(a)\pi(E_{11})+\pi(b)\pi(E_{12})+\pi(E_{21})\pi(c)+\pi(E_{21})\pi(d)\pi(E_{12})\\[0.3cm] &=\pi(a)+\pi(b)U+U\pi(c)+U\pi(d)U\\[0.3cm] &\simeq\begin{bmatrix}\pi(a)&\pi(b)\\\pi(c)&\pi(d)\end{bmatrix} \end{align}