Une image de bas $Y$ (Surface de Riemann)

Question

Laisser, $H = \{\text{complex numbers whose imaginary part is positive}\}$. Tout d'abord, vous prenez le domaine fondamental$\Omega$ (un sous-ensemble de $H$) de la figure 12.1.

Toute forme modulaire est déterminée par ses valeurs sur $\Omega$. Maintenant$\Omega$ est beaucoup plus petit que tout le demi-plan supérieur $H$. C'est un peu déséquilibré cependant.

Nous avons inclus la partie gauche de sa limite mais pas sa partie droite.

Il est beaucoup plus équitable de travailler avec $\Omega$, où nous incluons les deux frontières. (C'est ce qu'on appelle la fermeture de$\Omega$.) Mais $\Omega$est un peu trop grand pour être un domaine fondamental. Si$z$ est un point sur sa bordure droite, puis le point $z − 1$ est sur sa bordure gauche, et les deux points sont sur la même orbite de $SL_2(\mathbb Z)$. Aussi, un point$z$ sur la moitié droite du demi-cercle est sur la même orbite qu'un certain point sur la moitié gauche, à savoir $−1/z$.

Donc, la chose juste à faire est de travailler avec tous $\Omega$ mais pour «identifier» ou «coudre ensemble» (à la topologie) les bordures verticales droite et gauche et les demi-cercles droit et gauche en attachant chacun $z$ à la limite de $\Omega$à l'autre point de son orbite dans la frontière. Lorsque nous faisons cette couture, nous obtenons quelque chose qui ressemble à un bas avec un bout très pointu à$ρ$. (Le point ρ est la sixième racine de l'unité à droite.) Il y a aussi un endroit moins pointu dans le talon à$i$(la racine carrée de −1). Hormis ces deux points «singuliers», le reste du bas est agréable et lisse. Parce que nous avons construit cette forme à partir d'un morceau du plan complexe, le bas est toujours un «espace complexe», ce qui signifie que nous pouvons faire une analyse complexe dessus. Appelons ce bas$Y$.

Il existe un moyen de lisser les deux points singuliers $ρ$ et $i$ faire tout de $Y$ dans ce qu'on appelle une surface de Riemann.

Les extraits ci-dessus sont tirés du livre "Summing It Up" d'Avner Ash et Robert Gross, 2016 (voir page 176).

PROBLÈMES:

1. Je ne comprends pas pourquoi "Nous avons inclus la partie gauche de sa frontière mais pas sa partie droite".

2. Je ne peux pas visualiser le bas $Y$.

3. Je ne comprends pas comment le lissage des deux points singuliers fait que tout $Y$dans ce qu'on appelle une surface de Riemann. Pour être précis, qu'est-ce qu'une surface de Riemann dans ce contexte?

DEMANDE:

Quelqu'un peut-il fournir une image 2D ou 3D du bas $Y$ avec des descriptions qui résout ci-dessus 3 problèmes?

Answer 1

1. Un domaine fondamental pour une action de groupe est défini comme étant constitué d'un seul point de chaque orbite. Le but ici est que vous devriez pouvoir spécifier une fonction qui est stable sous l'action de groupe en choisissant une fonction sur le domaine fondamental, et ce choix ne devrait avoir aucune restriction ou redondance. Ce dernier principe est pourquoi la frontière gauche et la frontière droite ne peuvent pas être toutes les deux dans le domaine fondamental: si je veux construire une fonction périodique$f$ et je choisis une valeur pour $f(1/2+i)$, cela détermine la valeur à $f(-1/2+i)$ puisqu'ils sont sur la même orbite.

2. Connaissez-vous la façon dont nous construisons un tore à partir d'un carré en identifiant les arêtes opposées? Quelque chose de similaire se passe ici. Les bords gauche et droit de$\Omega$ sont identifiés, ce qui signifie que nous pouvons en quelque sorte les récupérer hors de l'avion et les plier $\Omega$dans quelque chose qui ressemble à une paille de boba . Mais nous n'avons pas encore terminé: nous devons identifier les deux côtés du bas et les coudre ensemble. Si vous pouviez étirer un peu la paille, ce ne serait pas trop dur, mais vous auriez toujours une pointe acérée aux coins de l'ouverture de la paille.

3. Ici, une surface de Riemann signifie ce qu'elle fait habituellement: une variété complexe unidimensionnelle. (Nous voulons dire 1 dimension complexe ici.) L'idée est que$Y$ est déjà très proche d'être une variété complexe unidimensionnelle: chaque point sauf les points d'angle a une petite boule qui est isomorphe à une petite boule dans $\Bbb C^1$, donc tout ce que nous devons faire est de corriger ces points de coin et nous sommes bons. Intuitivement, les fixer signifie les lisser. Pour une déclaration précise, vous voudriez résoudre les singularités de$Y$.