une inégalité difficile de Crux mathematicorum [fermé]

Question

Quelqu'un peut-il m'aider à justifier cette inégalité de bonus de Crux mathematicorum: $\sqrt{a^2+3b^2}+\sqrt{b^2+3c^2}+\sqrt{c^2+3a^2}> \sqrt{7(a^2+b^2+c^2)+5(ab+bc+ca)}$

Je voudrais savoir comment Michael Rozenberg, Mirzakhmedov et Giugiuc l'ont trouvé.

Je vous remercie. J'ai trouvé cette inégalité agréable et intéressante et difficile, j'aimerais savoir comment faire. Je suis professeur de mathématiques et j'ai besoin de connaître la réponse; J'espère que vous comprenez merci

première idée $\sqrt{a^2+3b^2}>(a+3b)/2 $ et ajoutez les 3 inégalités mais à la fin vous avez $ab+bc+ca>a^2+b^2c^2 $ faux.

deuxième idée: je quadrille, simplifie et utilise Cauchy $\sqrt{a^2+3b^2} \sqrt{b^2+3c^2}<ab+3bc$; mais ce n'est pas bon.

troisième idée: Holder mais je dois voir si l'inégalité $4^3(a^2+b^2c^2)^3>(7 \sim a^+5\sum ab)(10 \sum a^4+6 \sum a^2b^2)$ est vrai !!!!

Answer 1

Nous devons prouver que: $$\left(\sum_{cyc}\sqrt{a^2+3b^2}\right)^2\geq\sum_{cyc}(7a^2+5ab)$$ ou $$2\sum_{cyc}\sqrt{(a^2+3b^2)(b^2+3c^2)}\geq\sum_{cyc}(3a^2+5ab),$$ ce qui est vrai parce que $$2\sqrt{(a^2+3b^2)(b^2+3c^2)}\geq\sum_{cyc}|3b^2+3ac+3bc-ab|\geq$$ $$\geq\sum_{cyc}(3b^2+3ac+3bc-ab)=\sum_{cyc}(3a^2+5ab).$$ Il suffit de prouver que: $$2\sqrt{(a^2+3b^2)(b^2+3c^2)}\geq|3b^2+3ac+3bc-ab|$$ ou $$4(a^2+3b^2)(b^2+3c^2)\geq(3b^2+3ac+3bc-ab)^2$$ ou $$4a^2b^2+12a^2c^2+12b^4+36b^2c^2\geq$$ $$\geq9b^4+9a^2c^2+9b^2c^2+a^2b^2+18b^2ac+18b^3c-6b^3a+18c^2ab-6a^2bc-6b^2ac$$ ou $$3a^2b^2+6a^2bc+3a^2c^2+6b^3a-12b^2ac-18c^2ab+3b^4-18b^3c+27b^2c^2\geq0$$ ou $$(b+c)^2a^2+2b(b+c)(b-3c)a+b^2(b-3c)^2\geq0$$ ou $$((b+c)a+b(b-3c))^2\geq0$$ ou $$(b^2-3bc+ab+ac)^2\geq0$$ et nous avons terminé!

J'ai l'inégalité $$4(a^2+3b^2)(b^2+3c^2)\geq(3b^2+3ac+3bc-ab)^2$$ de la manière suivante.

Laisser $f(a,b,c)=4(a^2+3b^2)(b^2+3c^2)-(3b^2+\alpha ac+\beta bc+\gamma ab)^2.$

Maintenant, nous pouvons essayer de résoudre le système suivant: $$f(1,1,1)=0,$$ $$\frac{\partial f}{\partial a}(1,1,1)=\frac{\partial f}{\partial b}(1,1,1)=\frac{\partial f}{\partial c}(1,1,1)=0,$$ qui donne $$(\alpha,\beta,\gamma)=(3,3,-1).$$ Mais plus tard, j'ai trouvé une très bonne solution par CS.

Answer 2

première idée $\sqrt{a^2+3b^2}>(a+3b)/2 $ et ajoutez les 3 inégalités mais à la fin vous avez $ab+bc+ca>a^2+b^2c^2 $ faux.

deuxième idée: je quadrille, simplifie et utilise Cauchy $\sqrt{a^2+3b^2} \sqrt{b^2+3c^2}<ab+3bc$; mais ce n'est pas bon.

troisième idée: Holder mais je dois voir si l'inégalité $4^3(a^2+b^2c^2)^3>(7 \sim a^+5\sum ab)(10 \sum a^4+6 \sum a^2b^2)$ est vrai !!!!