Une question combinant intégrale générarisée et limites

Question

Après avoir résumé quelques exemples, j'indique une supposition:

$f(x)>0$ est une fonction continue dans $[0, +\infty)$, $\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{f(x)}$ converge, alors $\lim\limits_{\lambda\rightarrow +\infty}\frac{1}{\lambda}\int_0^{\lambda}f(x)\mathrm{d}x=+\infty$.

Je pense que c'est correct, mais je ne sais pas comment le prouver. Merci beaucoup si vous pouvez fournir une preuve valide ou quelques indices.

Answer 1

Laisser $\lambda >0$. Puis par l'inégalité de Cauchy-Schwarz,

\begin{align} \lambda &= \int_0^\lambda 1 dx = \int_0^\lambda \sqrt{f(x)}\frac{1}{\sqrt {f(x)}} dx \\ &\le \sqrt{ \int_0^\lambda f(x) dx} \sqrt{\int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx}\\ \Rightarrow &\lambda ^2 \le \int_0^\lambda f(x) dx \int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx \end{align} Donc

$$\tag{1} \frac{1}{\lambda} \int_0^\lambda f(x) dx \ge \lambda \left( \int_0^\lambda \frac{1}{f(x) } dx\right)^{-1}.$$

Puisque

$$\int_0^\infty \frac{1}{f(x)} dx$$converge, il converge vers un certain nombre positif. Par conséquent, le RHS de (1) va à l'infini comme$\lambda \to +\infty$.