Une question sur la signification de l'interception en régression

Question

Supposons que nous ayons un ensemble de données où la variable indépendante $x$ est l'expérience de travail en années d'un employé et $y$est son salaire en dollars. Un tel ensemble de données pourrait être composé des éléments suivants

$$(x_i , y_i) = \{(1, 30000), (3, 40000), (5, 50000), (7, 60000), (9, 70000)\}$$

Le modèle de régression linéaire sera $y=\theta_0+\theta_1 x$. On peut estimer le vecteur de paramètres$\theta=[\theta_0, \theta_1]$.

Maintenant, ce qu'on m'a appris, c'est que l'interception $\theta_0$ est le salaire attendu d'un employé avec $0$des années d'expérience. C'est évident parce que nous disons simplement$x=0$ dans l'équation de régression et nous recevons la valeur.

Cependant, ce que nous faisons techniquement, c'est que nous estimons une valeur de $y$ étant donné une valeur de $x$qui n'appartient pas à notre ensemble de données. La valeur$x=0$ est en dehors de la plage de valeurs qui $x$ prend en compte nos points de données connus.

Je sais que lorsque nous faisons cela, cela n'aboutira pas toujours à une conclusion correcte, car nous supposons que la relation de $x,y$ est toujours linéaire en dehors de cette plage.

Alors, est-il vraiment correct / sûr de simplement brancher la valeur $x=0$ et dire que cela nous donne la valeur attendue de $y$ quand $x$ prend la valeur $0$?

Answer 1

Ce dont vous parlez ici, c'est de l' extrapolation . Il n'y a rien de fondamentalement, mathématiquement, incorrect à faire cela, mais cela doit être fait avec précaution car parfois les associations linéaires ne sont linéaires que dans une plage particulière (c'est-à-dire la plage des données dont vous disposez). Si la valeur à laquelle vous extrapolez est valide, alors l'association réelle entre les variables peut être très différente si vous aviez en fait obtenu des données contenant cette valeur. Elle peut encore être linéaire, auquel cas il est probable que la ligne ajustée aura une pente et une intersection différentes, ou elle pourra être non linéaire. L'autre problème, comme vous l'avez noté, est que parfois une valeur de zéro n'a aucun sens - revenu, taille, poids, etc. Dans ce cas, parfois un analyste centre les données sur la moyenne, de sorte que l'interception est alors équivalent à la moyenne.