Vérifier si un ensemble est un espace vectoriel

Question

Chaque fois qu'il y a un ensemble $S$ qui est un espace vectoriel, je continue d'entendre dans les conférences que "$S$ est fermé sous addition et multiplication scalaire, donc c'est un espace vectoriel ". Je ne comprends pas pourquoi. Peut-être quand $S$ est un sous-espace d'un espace vectoriel plus grand, de nombreux axiomes de l'espace vectoriel sont reportés sur $S$, mais si ce n’est pas le cas, peut-on expliquer pourquoi "$S$ est fermé par addition et multiplication scalaire, c'est donc un espace vectoriel "? Ces deux conditions garantissent-elles tous les axiomes de l'espace vectoriel?

Answer 1

La liste complète des exigences est ici . Les vecteurs doivent former un groupe abélien sous addition, ils doivent être fermés sous multiplication par tous les scalaires dans certains champs, et avec de tels scalaires de multiplication$a,\,b$ et vecteurs $u,\,v$ doit satisfaire$$(ab)v=a(bv),\,1v=v,\,(a+b)u=au+bu,\,a(u+v)=au+av.$$

Answer 2

Non. Ce à quoi vous faites référence est purement le critère du sous - espace .

Bien sûr, chaque espace vectoriel est fermé sous addition et multiplication scalaire. Mais le «contraire» n'est pas vrai.