Volume de la pyramide à base de polygones

Question

J'ai lu dans un livre il y a quelques mois que le volume d'une pyramide (solide) avec une base qui est N'IMPORTE QUEL polygone (je ne suis pas sûr s'il mentionnait qu'elle était régulière ou non) est égal à $$\frac{1}{3}\times A\times h$$ où $A$ est l'aire de la base (c'est-à-dire du polygone) et $h$ est la hauteur de la pyramide.

Cela semble être vrai dans de nombreux cas, comme lorsque la base est un carré, un triangle et lorsque la base est un cercle (c'est-à-dire que la pyramide devient un cône).

Ma question est la suivante: comment pouvons-nous le prouver? Je n'ai simplement aucune idée.

Merci de votre aide.

Answer 1

Tout polygone peut être décomposé en triangles, donnant $A = A_1 + \cdots + A_n$.

Donc, $$\begin{align} V &= V_1 + \cdots + V_n\\ &=\frac13A_1h + \cdots + \frac13A_nh\\ &=\frac13(A_1 + \cdots + A_n)h\\ &=\frac13Ah. \end{align}$$

---

Pour le cas de base, vous pouvez décomposer un prisme comme ceci. Pour voir que les trois pyramides ont le même volume, notez que les pyramides de gauche et du milieu partagent une base bleue et ont la même hauteur; de même, les pyramides du milieu et de droite partagent une base rouge et ont la même hauteur.

Answer 2

Pour le cas le plus général dans lequel la base n'a même pas besoin d'être un polygone, c'est une application du principe de Cavalieri . Imaginez une pyramide avec une base en forme de goutte et une pyramide carrée à côté avec la même hauteur et dont la base a la même aire que celle de la première pyramide. Étant donné que toute section transversale de niveau des deux pyramides devrait avoir la même surface, les volumes doivent également être égaux.

Il y a une image merveilleuse montrant que l'aire d'une pyramide carrée dont la hauteur est égale à sa taille de base et dont le sommet est au-dessus d'un coin de la base est 1/3 du volume d'un cube unitaire. Pour faire court, vous pouvez construire trois de ces pyramides et voir qu'elles peuvent être assemblées pour former un cube unitaire. A partir de là, la seule étape restante est de se convaincre que le volume d'une pyramide dont la base est un carré unitaire est directement proportionnel à la hauteur de la pyramide. À ce stade, vous l'avez prouvé d'une pyramide unitaire carrée avec une hauteur unitaire à une pyramide unitaire carrée de hauteur arbitraire jusqu'à une base arbitraire et une hauteur arbitraire.