Y a-t-il une raison pour laquelle cette technique est invalide?
Quel est $ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - \cos x}{x}$? Une façon simple d'évaluer cette limite consiste à remplacer$0$ pour $x$ au numérateur pour obtenir
$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - 1}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} ( \frac{1}{x} - \frac{1}{x} ) = \lim_{x \rightarrow 0} (0) = 0 $
puisque $ \frac{1}{x} - \frac{1}{x} = 0$ puisqu'une quantité soustraite de la même quantité est 0. Cette technique contourne le problème de la division par zéro tout en utilisant le fait que $\cos(0)$ est connu.
Réponses
Non, vous ne pouvez pas prétendre que $x=0$ au numérateur tandis que $x\ne0$ au dénominateur!
En utilisant votre méthode, un moyen simple d'évaluer cette limite consiste à remplacer $0$ pour $x$ dans le dénominateur pour obtenir $$ \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\cos x - 1}{0} =\lim_{x \rightarrow 0}\pm\infty$$ car le numérateur est différent de zéro.
Un contre - exemple :$$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x} {x^2}=\frac12,\quad\enspace\text{not }0.$$ En effet $\;1-\cos x=2\sin^2\tfrac x2$, donc $$\frac{1-\cos x} {x^2}= \frac{2\sin^2\frac x2}{4\bigl(\frac x2\bigr)^2}=\frac12\biggl(\underbrace{\frac{\sin\frac x2}{\frac x2}}_{\underset{\textstyle 1}{\downarrow}}\biggr)^2$$
@ChristinaDaniel OK, voici un contre-exemple: considérons l'expression $\frac{\sin 2x}{x}$ et laissez $x$ aller à zéro: la réponse à cette limite est $2$. Considérons maintenant l'expression$\frac{\sin 2x-0}{x}$ pour $x$aller à zéro. La réponse à cette limite est toujours$2$. Mais$\sin0=0$ donc nous pouvons maintenant considérer l'expression $\frac{\sin 2x-x}{x}$, encore avec $x$aller à zéro. Mais maintenant cette limite est$1$. Ainsi, lorsque vous effectuez une substitution «partielle», la réponse change. En d'autres termes, lorsque vous remplacez$x$, vous devez le faire pour chaque $x$ dans l'expression.
Laisser $f(x) = \frac{1-\ln x}{e-x}$. Nous souhaitons trouver$\lim_{x\to e}f(x)$.
L'utilisation de la méthode proposée renverrait la mauvaise réponse.

C'est invalide.
Vous ne pouvez pas remplacer une variable par une constante dans une partie d'une expression mais la laisser en tant que variable dans une autre.
Si vous souhaitez estimer une limite en remplaçant une variable par une constante, vous devez la remplacer partout. Si tu fais ça, tu ge$\frac {1 - \cos 0}{0} = \frac 00$ et cela ne nous aide pas du tout.
Il faut assumer $x \ne 0$ et si nous le remplaçons, nous devons le remplacer par $x = h\ne 0$ et nous obtenons $\lim_{x\to 0} \frac {1-\cos x}x \approx \frac {1-\cos h}{h}$et nous ne pouvons pas remplacer$h$ avec $0$ en haut et non en bas car $h$ ISN "T $0$. Et quel que soit le$x$ dans le numérateur est, le $x$ dans le dénominateur doit être la même chose.
.....
Le raisonnement de l'erreur est qu'un petit trucage dans le haut $x\approx 0$ veux dire $\cos x \approx \cos 0$n'affectera pas beaucoup. Mais c'est faux. Le fudging dans le fond fait une énorme différence.$\frac 1x \not \approx \frac 10$. C'est un non-non.
Complétez non-non.
Et complètement invalide.