Zéro diviseur ou unité [en double]

Question

Laisser $R$être un anneau fini avec l'unité. Prouvez que chaque$x \neq 0$ est un diviseur nul ou une unité.

J'ai fait une tentative, mais je suis resté coincé. J'ai pris un non nul$x$ et défini la cartographie $f: R \to R, y \mapsto xy$. Ce mappage n'est peut-être pas injectif, mais s'il l'est, car il mappe$R$ à $R$ et est fini, $f$ est aussi surjectif, et depuis $1$ est un élément de $R$, il existe $y$ tel que $xy = 1$. L'anneau n'est pas nécessairement commutatif, cependant, je dois donc aussi trouver un$y$ tel que $yx = 1$. Ma pensée était de définir une carte analogue$g: R \to R, y \mapsto yx$, qui peut ou non être injectable. Mais ensuite, je rencontre des problèmes où la première carte est injective, mais la seconde ne l'est pas.

Toute aide serait appréciée.

EDIT: La question liée ne répond pas à cela car elle suppose que l'anneau est commutatif. Cet anneau n'est pas commutatif.

Answer 1

Ce que vous avez montré est:

Si $x \neq 0$ n'est pas un diviseur zéro gauche (resp. droit), alors il existe $y$ tel que $xy = 1$ (resp. $yx = 1$).

Si $x$ est un diviseur zéro gauche mais pas un diviseur zéro droit, alors nous aurons $xz = 0$ pour certains $z \neq 0$ et $yx = 1$ pour certains $y$.

Nous obtenons alors $$0 = y\cdot 0 = yxz = 1 \cdot z = z,$$ qui contredit $z \neq 0$.

Par conséquent, cette situation ne peut pas se produire. Chaque diviseur zéro gauche est automatiquement un diviseur zéro droit, et vice versa, de sorte que nous pouvons dire sans ambiguïté "diviseur zéro".

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Ainsi quand $x$ n'est pas un diviseur nul, nous aurons $xy = 1$ et $zx = 1$ pour certains $y, z$. Cela donne alors$$y = 1 \cdot y = zxy = z \cdot 1 = z,$$ et on voit ça $y = z$ est l'inverse multiplicatif de $x$, Par conséquent $x$ est une unité.