4-momentum è un vettore o una forma 1?
Questo è un seguito di https://physics.stackexchange.com/a/576885/117014. Se non dovessimo considerare un vettore e la sua forma 1 duale "canonicamente" per rappresentare lo stesso oggetto, allora sembra che dovremmo essere in grado di dire se 4-quantità di moto, per esempio, è un vettore o una forma 1. Potrei chiedere la stessa cosa sul tensore del campo elettromagnetico, ma lo slancio sembra essere un buon punto di partenza. Tendo a pensare alla forza come una forma 1 perché nella meccanica classica pura è il negativo del gradiente di un potenziale (chiedi a Susskind.) Poiché la forza è anche la derivata temporale della quantità di moto, sembra ragionevole considerare la quantità di moto come un 1-modulo. Ma possiamo anche pensare alla quantità di moto come al prodotto della massa con 4 velocità, che è un 4-vettore.
Quindi, se un vettore e la sua forma duale 1 non devono essere visti come rappresentazioni diverse dello stesso oggetto, la quantità di moto deve essere l'una o l'altra. Oppure abbiamo due oggetti geometrici distinti che rappresentano la quantità di moto.
Cos'è questo?
Risposte
Per me, la definizione più naturale di quantità di moto è tramite il formalismo lagrangiano, che produce la forma unica $p_\mu = \frac{\partial L}{\partial \dot x^\mu}$. Prendendo la lagrangiana standard
$$L(x, \dot x) = m\sqrt{g_{\mu\nu} \dot x^\mu \dot x^\nu}$$ (dove la differenziazione è presa rispetto al momento giusto), ne segue quindi $p_\mu = g_{\mu\nu} m\dot x^\nu$. Detto questo, questo è chiaramente il fratello del 4-vettore$\tilde{p}^\mu = m \dot x^\mu$, con l'indice alzato / abbassato tramite la metrica.
Dal punto di vista lagrangiano, se aggiungiamo un termine di energia potenziale allora le equazioni lagrangiane del moto assumono la forma
$$\frac{d}{d\tau} p_\mu = -\frac{\partial U}{\partial x^\mu} \equiv f_\mu$$così come dici tu, da questa prospettiva la forza è naturalmente una forma unica. Ma ancora una volta, la metrica ci fornisce un isomorfismo, quindi risolvente
$$\frac{d}{dt}p_\mu = f_\mu$$ e $$\frac{d}{d\tau} \tilde{p}^\mu =g^{\mu\nu} f_\nu \equiv \tilde{f}^\mu$$
sono in definitiva equivalenti.
Se consideriamo la mitica massa puntiforme classica, ha un 4-momento determinato dalla sua massa e dalla sua linea del mondo. Chiamo una cosa del genere un oggetto "prioritario". Esiste prima di qualsiasi parametrizzazione o metrica (o osservazione) molteplice.
Ok va bene. Tu stai parlando di$p^\mu = m \dot x^\mu$. Questa espressione è perfettamente ben definita senza la necessità di una struttura aggiuntiva.
Sia che lo esprimiamo in modo covariante o controvariante, l'espressione si riferisce alla stessa entità fisica.
Senza una metrica (o qualche altra struttura che fornisce un isomorfismo simile), non è possibile "esprimerla in modo covariante". Lo slancio a cui ti riferivi prima è ben definito di per sé, ma non puoi mapparlo a un covettore senza fare implicitamente una scelta di metrica (o altra mappa di abbassamento dell'indice).
In genere scrivo lo slancio in modo covariante. Ma non ho un argomento ontologico per ritenere che sia una proprietà intrinseca dello slancio.
Per questo, dovrai essere più specifico su cosa intendi per slancio. Se stai parlando della massa moltiplicata per la velocità a 4, questo è un vettore a 4. Se stai parlando della quantità di moto canonica che è coniugata alla posizione nelle immagini lagrangiane o hamiltoniane, e le cui componenti spaziali (i) agiscono come generatori infinitesimali di traslazioni spaziali e (ii) sono conservate in presenza di simmetria traslativa spaziale , allora quell'oggetto è un covettore.
Come esempio concreto, si consideri lo spaziotempo FLRW in spazio piatto in cui
$$ds^2= c^2dt^2 - a^2(t)\big(dx^2+dy^2+dz^2\big)$$
Questa metrica è omogenea e isotropa, il che implica la conservazione di 3 momenti. Tuttavia, non lo è$p^k = m \dot x^k,\ k=1,2,3$ che è conservato, ma piuttosto $p_k = -a^2(t)m\dot x^k$.